Модифікація алгоритму Дейкстри для ваг ребер, виведених із діапазону

Припустимо, у мене є спрямований графік з вагами ребра, виведеними з діапазону $[1,\dots, K]$ де $K$ є постійним. Якщо я намагаюся знайти найкоротший шлях за допомогою алгоритму Дейкстри , як я можу змінити структуру алгоритму / даних та покращити часову складність до $O(|V|+|E|)$ ?

— user1675999
джерело

Ви повинні більш конкретно: Яка ваша структура даних? І ви не можете отримати менше

O (V + E)

$O(V+E)$ . Оглядові лекції.

— jonaprieto

Тільки тому, що можливості для різної ваги краю невеликі, не означає, що кількість відстаней невелика.

— Джо

Спочатку кольорові вершини вашого графіка синім, потім розділіть кожен край розміру

t

$t$ на

t

$t$ краї (додавши

t - 1

$t-1$ незабарвлених вершин), потім запустіть BFS на цьому новому графіку, щоб знайти найкоротші шляхи від стартового вузла до синіх вузлів, це

O (| V | + | E |)

$O(|V|+|E|)$ якщо у вас постійний

k

$k$ .

@SaeedAmiri чому б не написати це як відповідь?

— Джо

@Joe, тому що це не модифікує dijkstra (принаймні безпосередньо не пов'язане з dijkstra).

Відповіді:

$\{0,1,\ldots,K\}$ $O(K|V|+|E|)$

$\{D,D+1,\ldots,D+K\}$ $D$ $D$ $D+K$ $d[u] + wt(u,w)$ $(u,w)$ $d[u]$ $u$ $d[u]\le D$

$A[0..K]$ $K+1$ $k$ $A[h(k)]$ $h(k)=k \bmod (K+1)$ $D$

видалити-хв : В той час як порожній, приріст . Потім видаліть і поверніть вершину з . $A[h(D)]$ $D$ $A[h(D)]$
вставити за допомогою клавіші : Додайте вершину до відра . $k$ $A[h(k)]$
клавіша зменшення до : перемістіть вершину від до . $k$ $k'$ $A[h(k)]$ $A[h(k')]$

Вставка та клавіша зменшення - це операції постійного часу, тому загальний час, проведений у цих операціях, буде . Загальний час , витрачений на Delete-хв буде плюс кінцеве значення . Кінцеве значення є максимальним (кінцеве) відстань від джерела до будь-якої вершини (так як видалення-хв , який приймає ітерацій зростає по ). Максимальна відстань - не більше оскільки кожен шлях має максимум ребер. Таким чином, загальний час, проведений алгоритмом, дорівнює . $O(|V|+|E|)$ $O(|V|)$ $D$ $D$ $i$ $D$ $i$ $K(|V|-1)$ $|V|-1$ $O(K|V|+|E|)$

— Ніл Янг
джерело

Мені подобається кругова черга, це набагато краще, ніж моя ідея в основному мати масив розміру K * v, де в будь-який момент часу використовується лише фрагмент розміру av.

— rrenaud

Я реалізував його за допомогою подвійного зв'язаного списку, це все ще означає, що це O (1) для пошуку клавіші min?

— user1675999

@ user1675999, я не впевнений. якщо ваш список відсортований за ключовими словами, як ви ефективно вставляєте та зменшуєте клавішу? якщо ваш список не відсортований за ключовими словами, як зробити видалення-хв ефективно?

— Ніл Янг

Тут я припускаю, що - ціле число, а ваги ребер є цілісними. В іншому випадку він насправді нічого не купує, ви завжди можете змінити ваги, щоб мінімальна грань коштувала а максимальна - , тому проблема ідентична стандартній задачі з найкоротшим шляхом. $K$ $1$ $K$

Алгоритм / ескіз доказів: Реалізація черги пріоритетів таким шаленим способом як масивсписки, введені вартістю, і в іншому випадку використовують стандартний алгоритм Дікстра. Зберігайте лічильник, який відстежує вартість мінімального товару в купі. Вирішіть виклик декею після видалення елементів шляхом лінійного сканування . Так, цей вид звучить божевільно, але постійний дасть вам обдурити і обдурити вашу алгоритмічну інтуїцію проти лінійних сканувань. Сканувати потрібно лише з останнього маркера хвилини, оскільки алгоритм Disjkstra приємний до вашої реалізації черги. На той момент, коли він вимагає декетування, елементи, вставлені в чергу, завжди більше або рівні попередньому мінімуму. Найдовший найкоротший можливий шлях має довжину $K\times |V|$ $K$ $K\times |V|$ , тому ваша амортизована вартість сканування становить якщо K постійна. $K\times |V| = O(|V|)$

— rrenaud
джерело

-2

Ви можете використовувати топологічне сортування для пошуку рішення, нехай джерело матиме ступінь 0, тоді переходьте від кожного краю від джерела, якщо інша вершина має 0 градусів, тоді поставте її в чергу і продовжуйте робити це. у цьому випадку (без циклу всередині графіка) він може досягти V + E, як би проходив через кожну вершину та ребра один раз і лише один раз.

— ТІЯНЯН Чжан
джерело

Здається, що не має відношення до питання? Питання не передбачає, що графік є ациклічним, і ваше рішення не використовує той факт, що ваги витягуються з постійного діапазону.

— xskxzr