Скільки ребер може мати уніпатичний графік?

19

Уніпатичний графік - це спрямований графік, такий, що існує максимум один простий шлях від будь-якої однієї вершини до будь-якої іншої вершини.

Уніпатичні графіки можуть мати цикли. Наприклад, подвійно пов'язаний список (а не круговий!) - це універсальний графік; якщо в списку є елементів, графік має циклів довжиною 2, для загальної кількості . $n$ $n-1$ $2(n-1)$

Яка максимальна кількість ребер в уніпатичному графіку з вершинами? Асимптотична пов'язана буде (наприклад, або ). $n$ $O(n)$ $\Theta(n^2)$

_{Натхненний пошуком найкоротших шляхів у зваженому уніпатичному графіку ; у своєму підтвердженні я спочатку хотів стверджувати, що кількість ребер було але потім зрозумів, що обмеження кількості циклів є достатнім. $O(n)$}

graphs combinatorics

— Жил "ТАК - перестань бути злим"
джерело

Приємне запитання. Ми повинні спробувати покращити вашу нижню або мою верхню межу :).

— RB

12

Уніпатичний графік може мати ребер. Там дуже добре відомий вид графа , що це unipathic і має ребер. $\Theta(n^2)$ $n^2/4$

Розглянемо повний двосторонній графік із орієнтованими ребрами . Цей графік є однопатичним і не має циклу: усі його контури мають довжину . Він має вершин і ребер. $\forall (i,j) \in [1,m]^2, a_i \rightarrow b_j$ $1$ $2m$ $m^2$

_{(Подальше запитання: це співвідношення максимальне? Можливо, це не так, але я не маю іншого прикладу. Цей приклад є максимальним у тому сенсі, що будь-який один край, який ви додасте між існуючими вузлами, порушить властивість unipathic.)}

— Жил "ТАК - перестань бути злим"
джерело

"будь-який один край, який ви додасте між існуючими вузлами, порушить властивість unipathic" Як би додавання краю

розірвало властивість?

b_{1} \to a_{1}

$b_1 \rightarrow a_1$

— mitchus

@mitchus

a_{2} \to b_{1} \to a_{1} \to b_{2}

$a_2 \rightarrow b_1 \rightarrow a_1 \rightarrow b_2$

— Жил "SO- перестань бути злим"

1

Я думаю, що мій розум був якось однопастичним у той день :) Що стосується максимальності, то для великого

може бути відношення до 1/4 , але для

у подвійно пов'язаному списку більше ребер, ніж

.

n

$n$

n \in {2, 3, 4, 5, 6}

$n \in \{2,3,4,5,6\}$

n^{2} / 4

$n^2/4$

— mitchus

0

Я не знаю, чи існує уніпатичний графік на більш ніж ребра, але ось аргумент, що показує, що не більше $\frac{n^2}{4}$ Можливіребра: $\frac{n^2}{2}+3$

Припустимо, протиріччя, що - це однопатичний графік, такий, що $G=(V,E)$ . $|E|\geq \frac{n^2}{2}+3$

За принципом голубої дуги існує такий, що $v\in V$

г_{в} (v) \geq \frac{н}{2} + 1

$d_{\text{in}}(v)\geq \frac{n}{2}+1$

Позначимо $U=\{u\in V\mid (u,v)\in E\}$

Зауважте, що якби була вершина така, що $x\in V\setminus \{v\}$

\exists у_{1} \neq у_{2} \in U : (х, у_{1}), (х, у_{2}) \in Е

$\exists u_1\neq u_2\in U:(x,u_1),(x,u_2)\in E$

$(x\to u_1\to v)$ $(x\to u_2\to v)$

$\{v\}\times U$

| Е \cap (V \times U) | \leq 2 | U |

$|E\cap (V\times U)|\leq2|U|$

$U$

| Е | = | Е \cap (V \times U) | + | Е \cap (V \times (V ∖ U)) |

$|E|=|E\cap (V\times U)|+|E\cap (V\times (V\setminus U))|$

\leq 2 | U | + н | V ∖ U | \leq 2 (\frac{н}{2} + 1) + н (\frac{н}{2} - 1) < \frac{н^{2}}{2} + 3

$\leq 2|U|+n|V\setminus U|\leq 2(\frac{n}{2}+1)+n(\frac{n}{2}-1)<\frac{n^2}{2}+3$

$\square$

— РБ
джерело