Що таке суперсвіт?

Я читаю цю відому працю про Всесвіти в теорії типів . Спочатку я очікував щось подібне Setωв Агді, але виявляється, що це навіть щось більш загальне. Здається, узагальнено побудову Всесвіту від простого індуктивно-рекурсивного типу до сполучного (подібне до$\Pi$і ). Головне питання, яке я хочу задати, - який задум стоїть?$\Sigma$

Ось код коду Ідріса, що визначає звичні всесвіти в стилі Тарскі:

mutual

  public export data U : (level : Nat) -> Type where
    GroundU : Ground -> U level
    BinderU : Binder -> (a : U level) -> (b : (x : T {level} a) -> U level) -> U level
    UnivU   : U (S level)
    LiftU   : U level -> U (S level)

  public export T : {level : Nat} -> (code : U level) -> Type

Я намагаюся узагальнити це на щось подібне

mutual

  public export data U : (a : Type) -> (b : (x : a) -> Type) -> Type where
    GroundU : Ground -> U a ???
    ...

Що має ???бути? Автор статті щойно сказав, що всесвіти повинні бути закриті під заданими формувачами.

редагувати: Я думаю, що ???це просто b...

Один із завдань, що мають оператор Всесвіту і над-Всесвіт, закритий під ним, - це надати теоретико-різновидну версію великих кардинальних аксіом, відомих з теорії множин. Недосяжне кардинальне подібний всесвіту типу теоретико. Наступний цікавий вид кардинала - кардинал Махло . Якщо говорити інтуїтивно, то кардинал Mahlo - це той, хто має під собою "цілу партію" недоступних кардиналів. Що це було б у теоретичному відношенні? Це повинен бути якийсь Всесвіт з великою кількістю і всесвітів у ньому. Це те, до чого звертається Палмгрен, розглядаючи супер всесвіти.$U$

Існує також більш практична сторона наявності багатьох всесвітів. Корисно мати індукційно-рекурсивні типи в теорії типів для будь-яких цілей. Але вони дозволяють нам визначити нові всесвіти, тож питання в тому, скільки ? Щоб відчути те, що робить Палмгрен, замість того, щоб стріляти в надсвіт Всесвіту, спробуйте наступну послідовність побудов в Агді (використовуючи індукційно-рекурсійну):

1. Визначте один Всесвіт $U_0$, що містить (код) $\mathbb{N}$ і закритий під $\Pi$ і $\Sigma$. Цей вид Всесвіту відповідає недоступному кардиналу .

2. Визначте оператора $U$ який приймає будь-який тип $A$ і визначає Всесвіт, який містить (код) $A$ і закривається під $\Pi$ і $\Sigma$. Цей тип оператора Всесвіту схожий на аксіому Гротендіка Всесвітів . Скільки всесвітів ми можемо отримати, багаторазово застосовуючи$U$, починаючи з $\mathbb{N}$?

3. Щоб отримати ще більше всесвітів, ми постулюємо надсвітом $V$ який містить безліч всесвітів:

   • $V$ містить $\mathbb{N}$, і закритий під $\Pi$ і $\Sigma$
   • Дано (код) тип $A : V$ і сім'я $B : A \to V$, є Всесвіт $U$, що є елементом $V$, він містить усі типи родини $B$, і закритий під $\Pi$ і $\Sigma$.

   Скільки всесвітів робить $V$містити? Зауважте, що ми можемо отримати сім’ю$B : \mathbb{N} \to V$ такий як $B(n)$ є $n$-на Всесвіт, і так $V$ повинна містити Всесвіт $U_\omega$який містить у собі все це. І це лише початок!