Мова програмування, яка може реалізовувати лише обчислювані біективні функції?

Чи існують мови програмування (або логіка), які можуть реалізовувати (або виражати) функцію якщо і лише якщо - обчислювані біективні функції? $f:\mathbb{N}\to \mathbb{N}$ $f$

— Чао Сюй
джерело

Хтось довів мені, що неможливо створити мову, яка приймає лише програми, що закінчуються. Оскільки у вас питання дуже схоже, я думаю, що ні.

— FUZxxl

Здається, навряд чи існувала б така мова програмування, я думаю, ви могли б спробувати її застосувати, але тоді ви не зможете робити прості речі, такі як сортування, принаймні не без того, щоб це стало жахливо складним і болісним.

— Люк Матхісон

@FUZxxl Це не охоплює багато програм, що закінчуються, насправді навіть функцію f (x) = 1 неможливо виразити цією мовою. Крім того, у мене є відчуття, що такі функції охоплені загальним функціональним програмуванням, оскільки кожна функція є загальною функцією.

— Чао Сю

@FUZxxl, я не думаю, що це правильно, але таку мову потрібно було б обмежити. Наприклад, мова, еквівалентна кінцевим детермінованим автоматам, гарантовано припиниться, але буде надзвичайно обмежена у тому, що вона може обчислити.

— jmite

@FUZxxl, деталі такого твердження важливі. Розробити мову програмування, на якій кожна програма закінчується, легко. Інша справа - створити мову, якою ми можемо виразити кожну обчислювальну функцію.

— Vijay D

Немає такої мови.

Однак погляньте на Бумеранг . Це мова для написання біекцій між рядками. Я не знаю, наскільки широкий клас карт виражається в ньому, але я впевнений, що ви зможете дізнатися, якщо трохи пошукати.

Доцільно вимагати від мови програмування, щоб набір дійсних програм був розпізнаваний інтерпретатором або компілятором, тобто, щоб це був обчислювальний набір. Припустимо, тоді у нас була мова програмування, набір дійсних програм, який був обчислимо численним і який реалізував саме всі обчислювані біекції . Це означає, що ми можемо обчислити всі обчислювані біекції (просто перерахувати всі дійсні програми на цій мові програмування), але це неможливо наступною теоремою. $\mathbb{N} \to \mathbb{N}$

Теорема: Припустимо, що - це обчислювана послідовність обчислюваних біекцій. Тоді відбувається обчислювальна біекція, яка не в послідовності. $f_0, f_1, f_2, \ldots$

Доказ. Побудуємо біекцію наступним чином. Щоб визначити значення і , подивимося на : $g : \mathbb{N} \to \mathbb{N}$ $g(2 k)$ $g(2 k + 1)$ $f_k(2 k)$

якщо тоді встановлюємо і , $f_k(2 k) = 2 k$ $g(2 k) = 2 k + 1$ $g(2 k + 1) = 2 k$
якщо тоді встановлюємо і . $f_k(2 k) \neq 2 k$ $g(2 k) = 2 k$ $g(2 k + 1) = 2 k + 1$

Очевидно, що для будь-якого , відрізняється від тому , що . Крім того, обчислюється, і це біекція, оскільки це своя власна інверсія. QED. $k \in \mathbb{N}$ $g$ $f_k$ $g(2 k) \neq f_k(2 k)$ $g$

— Андрій Бауер
джерело

Навіщо вам навіть потрібна ця хитрість та ? Використання повинно вистачити.

2 k

$2k$

2 k + 1

$2k+1$

g (k) = f_{k} (k) + 1

$g(k)=f_k(k)+1$

— FUZxxl

@FUZxxl: якщо ви використовуєте то отримана функція не є сюжетною

f_{k} (k) + 1

$f_k(k)+1$

— Vor

Вам потрібно переконатися, що бієктивна.

g

$g$

— Андрій Бауер

Початкове твердження неправильне, таких мов у літературі багато.

— Натаніел

З іншого боку, ваш доказ здається законним. Можливо, я якось плутаюсь. Мені потрібно уважно прочитати папір Аксельсена та Глюка (див. Мою відповідь), щоб зрозуміти, що тут відбувається.

— Натаніел