Знайдіть

9

Нехай бути мовою всіх -CNF формул , таким чином, що , по крайней мере з положення «и можуть бути задоволені. $L_\epsilon$ $2$ $\varphi$ $(\frac{1}{2}+\epsilon)$ $\varphi$

Мені потрібно довести, що існує st є -твердий для будь-якого . $\epsilon'$ $L_\epsilon$ $\mathsf{NP}$ $\epsilon<\epsilon'$

Ми знаємо, що може бути приблизним до переваги пунктів із скорочення . Як я повинен вирішити цей? $\text{Max}2\text{Sat}$ $\frac{55}{56}$ $\text{Max}3\text{Sat}$

complexity-theory satisfiability approximation

— Джоні
джерело

8

У своїй знаменитій роботі Хестад показує, що наблизити MAX2SAT до важко, ніж NP $21/22$ . Це, ймовірно, означає, що НР важко відрізнити випадки, які є $\leq \alpha$ задоволення та випадки, які є $\geq (22/21) \alpha$ задоволення, для деяких $\alpha \geq 1/2$ . Тепер уявіть, як прошивати екземпляр, щоб він став а $p$ -фракція нового екземпляра, решта якого саме така $1/2$ -задовільний (скажімо, він складається з груп пунктів форми $a \land \lnot a$ ). Тепер цифри стають $1/2 + p (\alpha - 1/2)$ і $1/2 + p((22/21)\alpha - 1/2)$ . Останнє число можна зробити якнайближчим до $1/2$ як ми хочемо.

— Юваль Фільм
джерело

Чи працює ваш метод, коли ε - довільне (але достатньо мале) дійсне число? Я не можу зрозуміти, як вибрати відповідну кількість застережень, які будуть використані для накладки, якщо я не припускаю щось про ε. (Зауважимо, що ε не є частиною вхідних даних, і тому її чітко визначено, щоб враховувати дійсне число ε.)

— Цуйосі Іто

Ось де розрив між

1 / 2 + p (α - 1 / 2)

$1/2+p(\alpha-1/2)$ і

1 / 2 + p ((22 / 21) α - 1 / 2)

$1/2+p((22/21)\alpha-1/2)$ може бути корисним. Припускаючи

α

$\alpha$ є раціональним, прийміть деяке раціональне

p

$p$ , і ти повинен робити добре.

— Yuval Filmus

Ага, я якось подумав, що цей метод не працює, коли спробував його спершу, але тепер я бачу, як він працює. Дякую!

— Цуйосі Іто

5

Якщо ви знаєте, що ε - раціональне число, то для підтвердження своєї заяви Max-2-SAT вам не потрібна незрівнянність. Типовий доказ твердості NP для Max-2-SAT (наприклад, той, який знаходиться в підручнику « Комп’ютерна складність » Пападімітріу) фактично доводить NP-повноту L _1/5 . Щоб довести NP твердість L _ε для позитивних раціональних чисел ε <1/5, ми можемо зменшити L _1/5 до L _ε таким чином: задавши формулу 2CNF φ (екземпляр для L _1/5 ), нехай m буде кількість пунктів у ньому. Нехай г іs мають додатні цілі числа, такі, що (1 / 5− ε ) mr = 2 ε s . Потім побудуйте формулу 2CNF (екземпляр для L _ε ), повторивши φ для r разів і додавши s пар суперечливих пропозицій. Простий розрахунок показує, що це дійсно зменшення з L _1/5 до L _ε .

Це зменшення однозначно працює лише в тому випадку, якщо ε раціональне, тому що в іншому випадку r і s не можна вважати цілими числами. Загальний випадок, коли ε не обов'язково раціональний, здається, вимагає непереборності, як писав у своїй відповіді Юваль Філіус.

— Цуйосі Іто
джерело