Монадичний логік другого порядку для чайників

Я програміст із захопленням на автоматах, але не на логіці.

Я читав у документах, що вони дуже тісно пов'язані. Детерміновані кінцеві автомати (DFA), автомати дерев і автоматичні видимі поштовхи відносяться до Monadic логіки другого порядку (MSO). Хоча, я розумію, автомати і люди (в паперах) намагалися пояснити ставлення до МСО до мене, вони завжди припускають сильну основу логіки та розуміння МСО.

Коли я дивлюся на книги та курси з логіки, вони здебільшого обробляють лише логіку першого порядку, яка здається досить простою і складається лише з кількох понять: змінні, або, і, не, передбачають, для всіх існує і т.д.

Чи може хтось пояснити мені або вказати на ресурс, який може пояснити:

Що таке логіка другого порядку на відміну від логіки першого порядку?
Що таке монадія проти немонадична логіка?
Чому важливо, щоб логіка другого порядку монадична була вирішуваною АБО чому це неправильне питання?
Чому монадична логіка другого порядку рішуча?
Відносини принаймні до DFA?

Якщо це ресурс, було б добре, якщо він припускає, що я програміст, а не логік. Це означає, що я хотів би зрозуміти, як я реалізував би це як код, тому що до цього часу математика мені здається магією;)

Дякую за будь-яку допомогу, яку ви можете мені надати. Я б дуже цінував це.

— Вальтер Шульце
джерело

"Чому важливо, щоб логіка другого порядку монадична була вирішуваною АБО чому це неправильне питання?" якщо ви дозволите кількісне визначення над двійковим предикатом, наприклад,

то ви негайно захоплюєте силу логіки першого порядку одним єдиним двійковим предикатом, який уже не можна визначити (навіть без функцій ариуса> 0 і без рівності) [Kalmar, Suranyi, 1950]

\exists M [. . . M (x, y) . . .]

$\exists M[...M(x,y)...]$

— Vor,

Що таке логіка другого порядку на відміну від логіки першого порядку?

Що таке монадія проти немонадична логіка?

Монадична логіка другого порядку - це логіка першого порядку плюс кількісна оцінка над множинами. Отже, як і ви можете сказати, що існує доменний елемент з деякою властивістю ( ), ви також можете сказати, що існує набір елементів домену з деяким властивістю. Так, наприклад, ми можемо визначити 3-ма колоритність графіків, сказавши $\exists x\dots$

\begin{aligned} \exists R \exists Г \exists Б [ & \forall х (х \in R \lor х \in Г \lor х \in Б) \\ \land \neg \exists х ((х \in R \land х \in Г) \lor (х \in Г \land х \in Б) \lor (х \in Б \land х \in R)) \\ \land \forall х \forall у (Е (х, у) \to \neg ((х \in R \land у \in R) \lor (х \in Г \land у \in Г) \\ \lor (х \in Б \land у \in Б)))] . \end{aligned}

$\begin{align*} \exists R\,\exists G\,\exists B\, \big[&\forall x\,\big(x\in R\lor x\in G\lor x\in B\big)\\ &\land \neg\exists x\,\big((x\in R\land x\in G) \lor (x\in G\land x\in B) \lor (x\in B\land x\in R)\big)\\ &\land \forall x\,\forall y\,\big(E(x,y)\rightarrow \neg \big((x\in R\land y\in R)\lor (x\in G\land y\in G)\\ &\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\quad\lor (x\in B\land y\in B)\big)\big)\big]\,. \end{align*}$

На словах, є червоний, зелений і синій кольори такі, що

кожна вершина має колір
і жодна вершина не має двох кольорів
і якщо між двома вершинами є край, ці дві вершини не мають одного кольору.

Загальна логіка другого порядку дозволяє проводити не просто кількісне визначення наборів, а й над довільними відносинами над доменом. Нагадаємо, що відношення - це набір -парів над доменом, для деяких . Набори - це просто одинакові відносини: а -tuple - це лише елемент домену. $k$ $k$ $k=1$ $1$

Чому важливо, щоб логіка другого порядку монадична була вирішуваною АБО чому це неправильне питання?

Чому монадична логіка другого порядку рішуча?

Чесно кажучи, я не пам’ятаю проблем щодо вирішення. Ключовим моментом є те, що повна логіка другого порядку дозволяє кількісно визначити лінійний порядок домену

\begin{aligned} \exists R \forall x \forall y \forall z [ & (R (x, y) \lor R (y, x)) \\ ((R (x, y) \land R (y, x)) \to x = y) \\ ((R (x, y) \land R (y, z)) \to R (x, z))] . \end{aligned}

$\begin{align*} \exists R\,\forall x\,\forall y\,\forall z\,\big[&(R(x,y)\lor R(y,x)\big)\\ &\big((R(x,y)\land R(y,x))\rightarrow x=y\big)\\ &\big((R(x,y)\land R(y,z))\rightarrow R(x,z)\big)\big]\,. \end{align*}$

$D$ $D^n$ $n$ $D^n$ $n$

(Я здогадуюсь, що якщо ваш домен нескінченний, вам, ймовірно, потрібно додатково вказати, що лінійний порядок дискретний і має мінімальний елемент; тоді ви знаєте, що він має початковий сегмент, ізоморфний натуральним числам, і це має бути достатньо.)

$\exists R_1\dots \exists R_k\,\varphi$ $R_i$ $\varphi$

Відносини принаймні до DFA?

$\Sigma$ $\leq$ $R_a$ $a\in\Sigma$ $R_a$

$k$ $Q_1, \dots, Q_k$ $Q_i$ $i$

$j$ $Q_1, \dots, Q_k$
$Q_1$
$j$ $Q_i$ $(j+1)$
остаточне положення знаходиться у приймаючому стані.

$j$ $j$ $j'>j$ $j'$

Зараз я не пригадую доказів зворотного (що все визначене в MSO може бути розпізнане відповідним автоматом). Якщо я встигну, я загляну вгору та опублікую ескіз.

$i$ $X$ $1$ $i$ $X$

$R_a(i)$ $i$ $a$ $i\in X$ $i$ $X$ $i<j$ $i$ $j$

$\lor, \lnot$ $\exists i, \exists X$ $\cup$ ${}^c$

— Девід Річербі
джерело

Додав мою пропозицію щодо зворотного. Очікує затвердження на @DavidRicherby

— Hendrik

Дякую за чудову відповідь. Я все ще обробляю все це і працюю над цим, розглядаю терміни, думаю, як би це здійснити і т. Д. Тим часом я думаю, що число 3 було невірним питанням. Може, швидше за все, це було так, чому таке співвідношення між автоматами та логікою настільки важливе, що воно згадується у багатьох статтях?

— Вальтер Шульце

Дякую за відмінну відповідь!

— Клас.