Як довести, що матричне множення двох матриць 2х2 не може бути виконано менш ніж у 7 множеннях?

У матриці множення Страссена ми констатуємо один дивний (принаймні для мене) факт, що матричне множення двох 2 х 2 займає 7 множення.

Питання: Як довести, що неможливо помножити дві матриці 2 х 2 на 6 множень?

Зверніть увагу, що матриці перевищують цілі числа.

algorithms complexity-theory lower-bounds

— Складність
джерело

Є й інші алгоритми множення матриць, які можуть бути швидшими. Ця веб-стаття класу Стенфорда CME 323 містить детальну інформацію про алгоритм Страссена, множення матриць: алгоритм Страссена . Існує тема Вікіпедії, алгоритм Страссена, який деталізується і містить посилання на додаткову інформацію.

— Річард Чемберс

@RichardChambers Зауважте, що алгоритм Страссена має

множень. Мені здається правдоподібним, що ця нижня межа правдива.

7

$7$

— Стелла Бідерман

Сформульоване це питання неправильно. Існує безліч матриць, які можна помножити на

множень. Ви маєте намір попросити доказ того, що, в гіршому випадку, це займає 7 ака. Існує якась матриця, для якої потрібна 7

6

$6$

— Stella Biderman

@StellaBiderman так, я бачив, що у Страссена 7 розмножень. Я не дивився на інші, швидші та алгоритми з меншою складністю. З того, що я можу сказати, вони використовують той же підматричний підхід, що і Страссен, але я не впевнений. Я тільки додав додаткову інформацію про Страссен конкретно.

— Річард Чемберс

Здається, у вашому запитанні чогось не вистачає. Я можу легко дати алгоритм, який може помножити хоча б деякі матриці на 0 множення. Напевно, існує обмеження, про яке ви не згадуєте.

— Йорг W Міттаг

Це класичний результат Winograd: Про множення матриць 2x2 .

$n\times n$ $O(n^\alpha)$ $\langle n,n,n \rangle$ $n\times n$ $O(n^\alpha)$ $O(n^{\log_27})$ $R(\langle 2,2,2 \rangle) \leq 7$

$R(\langle 2,2,2 \rangle)=7$ $\langle 2,2,2 \rangle$

— Юваль Фільм
джерело

Ви можете знайти результат за адресою:

С.Виноград, Про множення матриць 2 × 2 , лінійна алгебра та додаток. 4 (1971), 381–388, MR0297115 (45: 6173).

— Стелла Бідерман
джерело