Чому звучність означає послідовність?

Я читав питання Послідовність і повнота передбачає здоровість? і перше твердження в ньому говорить:

Я розумію, що здоровість передбачає послідовність.

Я був дуже спантеличений, тому що я вважав, що звучність є слабкішим твердженням, ніж послідовність (тобто, я вважав, що послідовні системи повинні бути здоровими, але я думаю, що це неправда). Я використовував неофіційне визначення, яке Скотт Ааронсон використовував у своєму курсі 6.045 / 18.400 в MIT для послідовності та здоровості:

1. Звуковість = Система доказів є здоровою, якщо всі твердження, які вона підтверджує, насправді є правдивими (все, що можна довести, є правдою). тобто IF ( є доказним) ( - це правда). Отже, ЯКЩО (є шлях до формули) ТАМ (ця формула є правдою)$\phi$$\implies$$\phi$
2. Послідовність = послідовна система ніколи не доводить А і НЕ (А). Тож лише одна А чи її заперечення можуть бути істинними.

Використовуючи ці (можливо, неофіційні) визначення на увазі, я побудував такий приклад, щоб продемонструвати, що існує система, яка є надійною, але не є послідовною:

Причиною цього я вважав, що це була звукова система, тому що, за припущенням, аксіоми вірні. Тож A і не A - це істинно (так, я знаю, що закон виключеного середини не включений). Оскільки єдиним правилом умовиводу є заперечення, ми отримуємо, що ми можемо досягти як А, так і А не через аксіоми і дійти до одних. Таким чином, ми дійшли до правдивих тверджень лише щодо цієї системи. Однак, звичайно, система не є послідовною, оскільки ми можемо довести заперечення єдиного твердження в системі. Тому я продемонстрував, що звукова система може не відповідати. Чому цей приклад невірний? Що я зробив не так?

У моїй голові це має сенс інтуїтивно, тому що звучність просто говорить про те, що, як тільки ми починаємо з аксіоми та виконує правила виводу, ми дістаємось лише в місцях призначення (тобто твердженнях), які є Істинними. Однак насправді не сказано, до якого пункту призначення ми приїдемо. Однак послідовність говорить про те, що ми можемо досягти лише пункту призначення, який досягається або або (обидва, не обидва). Отже, кожна послідовна система повинна включати закон виключеної середини як аксіоми, чого я, звичайно, не робив, а потім просто включав заперечення єдиної аксіоми як єдиної іншої аксіоми. Так що не відчуваю, що я зробив щось занадто розумно, але якось щось не так?¬ $A$$\neg A$

Я просто усвідомлюю, що це може бути проблемою, оскільки я використовую неофіційне визначення Скотта. Ще до того, як я писав питання, я перевіряв вікіпедію, але їх визначення не мало для мене сенсу. Зокрема, частину, про яку вони говорять:

щодо семантики системи

їх повна цитата:

кожна формула, яка може бути доведена в системі, є логічно справедливою щодо семантики системи.

Я рекомендую вивчити формальну логіку поза неясними, хвилеподібними описами. Це цікаво і дуже актуально для інформатики. На жаль, термінологія та вузька спрямованість навіть підручників, зокрема, щодо формальної логіки, можуть дати викривлену картину, що таке логіка. Питання полягає в тому, що більшість часу, коли математики говорять про "логіку", вони (часто неявно) мають на увазі класичну логіку пропозицій або класичну логіку першого порядку. Хоча це надзвичайно важливі логічні системи, вони ніде не мають широти логіки. У будь-якому випадку, те, що я збираюся сказати, значною мірою відбувається у тому вузькому контексті, але я хочу дати зрозуміти, що це відбувається в конкретному контексті і не повинно бути правдою поза ним.

По-перше, якщо послідовність визначається як не доведення як і , що станеться, якщо наша логіка навіть не має заперечення або якщо¬ А $A$$\neg A$$\neg$означає щось інше? Зрозуміло, що це поняття послідовності дає певні припущення щодо логічного контексту, в якому він працює. Як правило, це те, що ми працюємо в класичній пропозиційній логіці або деякому її розширенні, наприклад, класичній логіці першого порядку. Існує кілька презентацій, тобто списки аксіом і правил, які можна назвати класичною логікою пропозицій / першого порядку, але, для наших цілей, це насправді не має значення. Вони є рівнозначними в якомусь підходящому сенсі. Як правило, коли ми говоримо про логічну систему, ми маємо на увазі (класичну) теорію першого порядку. Це починається з правил та (логічних) аксіом класичної логіки першого порядку, до яких ви додаєте задані символи функції, предикативні символи та аксіоми (звані нелогічними аксіомами). Ці теорії першого порядку - це те, що ми '

Далі, міцність зазвичай означає здоровість стосовно семантики. Послідовність - це синтаксична властивість, пов'язана з тим, які формальні докази ми можемо зробити. Звучність - це семантична властивість, яка пов'язана з тим, як ми інтерпретуємо формули, функціональні символи та предикатні символи в математичні об'єкти та висловлювання. Щоб навіть почати говорити про ґрунтовність, потрібно дати семантику, тобто інтерпретацію вищезгаданих речей. Знову ми маємо розділення між логічними сполучниками та логічними аксіомами та символами функцій, символами предиката та нелогічними аксіомами. Що робить сполучники сполучниками та логічними аксіомами логічними аксіомами з семантичної точки зору, це те, що вони трактуються спеціально семантикою, тоді як функціональні символи, предикатні символи та нелогічні аксіоми цього не роблять.$[\![\varphi\land\psi]\!]=[\![\varphi]\!]\cap[\![\psi]\!]$ де я використовую як тлумачення формули . Зокрема, Де - набір домену. Ідея формули трактується як набір (кортежі) елементів домену, які задовольняють формулі. Закрита формула (тобто така, що не має вільних змінних) інтерпретується як нульове відношення, яке означає підмножину однотонного набору, яке може бути лише синглтоном або порожнім набором. Закрита формула є "справжньою", якщо вона не трактується як порожній набір. Точність - це твердження, що кожна доказна (закрита) формула є "справжньою" у вищезгаданому сенсі.$[\![\varphi]\!]$$\varphi$$[\![\neg\varphi]\!]=D\setminus[\![\varphi]\!]$$D$

Звідси легко, навіть із наведеного нами ескізу, довести, що обгрунтованість передбачає послідовність (в контексті класичної логіки першого порядку та семантики, яку я накреслив). Якщо ваша логіка звук, потім кожні доказові формули інтерпретують як непорожня множина, але НЕ завжди інтерпретується як пусте безліч , незалежно від того , яка формула є, і так воно не може бути доказовим, тобто ваша логіка є послідовною.

Здоровість та послідовність - це властивості дедуктивних систем. Звучність можна визначити лише стосовно певної семантики, яка передбачається даною незалежно від дедуктивної системи.

У царині семантики ці дві властивості пов'язані

Визначення 1 ( Звучність [Семантика] - запозичено з Вікіпедії ) Звучність дедуктивної системи є властивістю того, що будь-яке речення, яке можна довести в цій дедуктивній системі, також вірно для всіх інтерпретацій або структур семантичної теорії для мови, на якій ця теорія є базується.

Визначення 2 ( несуперечності [Семантика] ) безліч висловлювань на мові сумісна тоді і тільки тоді , коли існує структура мови , який задовольняє всі пропозиції в . Дедуктивна система є послідовною, якщо існує структура, яка задовольняє всім формулам, які можна знайти в ній.Л Л$A$$\mathfrak{L}$$\mathfrak{L}$$A$

З двох наведених вище визначень зрозуміло, що обгрунтованість передбачає послідовність. Тобто, якщо сукупність усіх доказових речень є у всіх структурах мови, то існує хоча б одна структура, яка їх задовольняє.

Ваша система доказів не є ні надійною, ні послідовною, оскільки не є справжньою пропозицією, якщо тільки , У цьому випадку не є справжньою пропозицією. Цей аргумент показує, що кожна звукоізоляційна система також є послідовною.A ≡ ⊤ ¬ A ≡ $A$$A \equiv \top$$\lnot A \equiv \bot$

Часто, коли ми придумуємо логічні системи, вони мотивовані спробою описати раніше існуюче явище. Наприклад, арифметика Пеано - це спроба аксіоматизувати натуральні числа разом з операціями додавання та множення.

Звучність можна визначити лише стосовно явища, яке ви намагаєтесь описати, і по суті означає, що ваші аксіоми та правила виводу справді описують предмет, про який йдеться. Так, наприклад, арифметика Пеано є звуком, оскільки її аксіоми та правила виводу дійсно відповідають натуральним числам.

Це, звичайно, означає, що ви маєте поняття "натуральних чисел" поза визначенням Пеано про них, і якесь поняття про те, що є істинним чи хибним для натуральних чисел, не виводячи ці істини з якогось конкретного набору аксіом. Спроба пояснити, звідки беруться ці істини, або як їх можна перевірити, можна висадити вас у філософські гарячі води. Але якщо ви сприймаєте це як те, що існують природні числа, і існує якась сукупність правдивих фактів про них, тоді ви можете розглядати проект аксіоматизації як просто намагання придумати стисле формальне уточнення, з якого багато найважливіших істини можна вивести. Тоді звучить аксіоматизація, якщо все, що вона може довести насправді, знаходиться у заздалегідь заданому зібранні істин, тобто

(Зокрема, зауважте, що ваша формальна специфікація не збирається доводити все, що є правдою щодо натуральних чисел, і, крім того, не буде однозначно описувати натуральні числа тим, що існують інші структури, відмінні від натуральних чисел, в яких аксіоми Пеано є також правда.)

Принаймні, логіка першого порядку, як мінімум, теорія є узгодженою, якщо вона взагалі має будь-які моделі. Звучність означає, що вона має конкретну модель, яку ви хотіли: конкретна структура, яку ви намагалися описати своєю теорією, справді є моделлю вашої теорії. З цієї точки зору зрозуміло, чому звучність передбачає послідовність.

Як приклад теорії, яка є послідовною, але не є звуковою: арифметика Peano, PA, здатна кодувати логічні формули як арифметичні конструкції, і зокрема, ви можете кодувати речення "PA є послідовним" ("немає доказів помилковості з аксіоми ПА "). Назвіть це речення Con (PA). Можливо, ви також знаєте, що (оскільки це здорово, а отже, і послідовно) ПА не може довести Con (PA), першою теоремою про незавершеність Геделя. Це також означає, що теорія PA +$\neg$Кон (Пенсільванія) не може довести протиріччя, тому воно повинно бути послідовним. Але це не звучить: він стверджує, що існує натуральне число, що кодує доказ помилковості від аксіоми ПА, але таке число не може бути в "справжніх" натуральних числах, оскільки в іншому випадку ми зможемо витягнути справжнє підтвердження невідповідності ПА від неї.

PA + Con (PA) має моделі, але вони є моделями, які повинні включати "зайві" об'єкти, "нестандартні натуральні числа", включаючи той, який, на його думку, кодує "доказ", про який йдеться. Теорія просто не забезпечена необхідними інструментами, щоб відрізнити ці нестандартні елементи від справжніх добросовісних членів або продемонструвати, що доказ не є законним доказом.$\neg$$\mathbb N$

Ви також можете інтерпретувати це як: PA + Con (PA) - це цілком законна логічна система - вона просто не описує точно натуральні числа, і натуральні числа не є їх моделлю.$\neg$

І ще одне: ми не припускаємо, що аксіоми є істинними за визначенням. Усі аксіоми за визначенням є лише основними складовими доказів. Вони просто стверджують: вони істинні чи неправдиві лише тоді, коли застосовуються до певних математичних об'єктів. Ви можете мати помилкові аксіоми, це просто досить нерозумно, тому що ваша система тоді обов'язково і негайно не буде звучати.

Щоб мати стислу (та інтуїтивно зрозумілу) відповідь, я перефразую те, що сказав Скотт Аронсон у своїй лекції 6.045 / 18.400 MIT. Він сказав щось подібне:

Звучність означає, що все доказове є правдою. Оскільки послідовність означає, що немає суперечностей, а обгрунтованість вже задіяна, то поняття істини і правди повинно бути послідовним (тобто істинно! = Помилково), то це повинно означати, що Звукові системи також послідовні. Отже, Звучність передбачає послідовність, оскільки (справді) справжні речі не мають суперечностей.

Тепер, коли я розмірковую, я розумію, що у мене були неправильні припущення / ідеї:

1. Я не розумів, що обгрунтованість стосується семантики. Таким чином, я не зміг усвідомити, що просто використання правил виводу з аксіом недостатньо для того, щоб призвести до справжніх наслідків (і що це не гарантує цього. Я вважав, що неможливо досягти суперечливих речей, поки ми починали з аксіом і використані дійсні правила умовиводу).
2. Я вважав, що поки аксіоми істинні і правила виводу мали сенс, все, що випливає, буде правдою. Я зараз усвідомлюю, що це може бути неправдою, оскільки якщо ми просто маємо гігантський перелік аксіом і правил умовиводу, важко міркувати, якщо все, що випливає, буде правдою. тобто просто починати з аксіоми та використовувати правильне правило виводу недостатньо для того, щоб гарантувати, що наступний крок буде істинним.
3. Попередній по суті поєднується з тим, що я не усвідомлював, що існує два рівні складності, 1) семантика 2) синтактика. Скручування гри символів, що розсипається, може призвести до суперечностей.
4. Я не усвідомлював, що не знаю належної характеристики істини, що Дерек зробив велику роботу в характеристиці.