Чи може доказ протиріччям діяти без закону виключеного середини?

Нещодавно я думав про обґрунтованість доказу протиріччя. Останні кілька днів я читав речі з інтуїтивної логіки та теореми Годеля, щоб побачити, чи дадуть мені відповіді на мої запитання. Зараз у мене ще тривають запитання (можливо, це стосується нового матеріалу, який я читав) і сподівався отримати відповіді

( ПОПЕРЕДЖЕННЯ . Ви збираєтесь читати вміст із дуже заплутаною основою логіки, візьміть усе із зерном солі, припустимо, це питання, а не відповідь. У ньому багато непорозумінь).

Я думаю, що моє головне питання, як тільки ми показали, що не A призводить до певної суперечності, тому не повинно бути помилковим, то ми підемо і зробимо висновок, що A повинен бути правдою. Ця частина має сенс (особливо, якщо я приймаю закон виключеного середини як щось, що має сенс), але те, що мене турбує, - це те, як насправді відбувається доказ протиріччя. Спочатку ми починаємо з не A, а потім просто застосовуємо аксіоми та правила умовиводів (скажімо механічно) і бачимо, куди це нас веде. Зазвичай вона досягає суперечності (скажімо, що A - це правда, або і - це правда). Ми робимо висновок, що не A має бути помилковим, тому A є правдою. Це чудово. Але моє запитання полягає в тому, які гарантії мають офіційні системи$\neg \varphi$$\phi$якби я застосував той самий процес, але розпочав з A, я також не отримав би протиріччя там ? Я думаю, що існує якесь приховане припущення, що підтверджується суперечностями, що якби аналогічно той самий процес у A не досяг протиріччя , то які у нас гарантії цього не відбудуться? Чи є докази, що це неможливо? Іншими словами, якщо у мене була машина повороту (TM) (або супер TM), яка пішла назавжди, що спробувала всі логічні кроки від кожної аксіоми, починаючи з нібито правдивого твердження , що гарантує, що вона НЕ HALT через пошук протиріччя ?$A$

Потім я зв'язав своє попереднє питання з теоремою про незавершеність Годеля, яка йде приблизно так:

Формальна система F, яка виражає арифметику, не може довести власну послідовність (у межах F).

Це в основному дало мені зрозуміти, що якщо це правда, то послідовність, тобто гарантування того, що А, а не А, не відбудеться, неможливо. Таким чином, здавалося, що доказ протиріччя просто неявно передбачає, що послідовність якимось чином гарантована (інакше чому б просто продовжувати і робити висновок, що А є правдивим, доказуючи, що А не є можливим, якщо він ще не знав цієї послідовності а протиріччя, де добре, для будь-якої пари висловлювань А, а не А)? Це неправильно чи я щось пропустив?

Тоді я подумав, ок, давайте просто включити в наші аксіоми правило виключеного середини, і тоді всі проблеми будуть вирішені. Але тоді я зрозумів, чекайте, якщо ми це зробимо, ми просто визначаємо проблему, а не займаємося нею. Якщо я просто змушу мою систему бути послідовною за визначенням, це не обов'язково означає, що вона насправді є послідовною ... так? Я просто намагаюся осмислити ці ідеї, і я не зовсім впевнений, що робити, але це те, що я усвідомлюю після кількох днів читання матеріалів і перегляду відео майже в кожному аспекті цих понять, суперечності, виключної середини, інтуїціоністська логіка, теореми про повноту та незавершеність Годеля ...

З цим пов'язано, що, по суті, неможливо фактично безпосередньо довести, що щось неправдиве без правила виключеного середини (або суперечності). Здається, що доказові системи добре допомагають доводити правдиві твердження, але, наскільки я розумію, вони не здатні безпосередньо показати, що речі неправдиві. Можливо, те, як вони це роблять, є більш опосередкованим протиріччям (там, де вони показують, що щось має бути помилковим, або трапляються погані речі), або виключати середину (коли знання значення істини лише одного А чи ні А дає нам правду іншого) або надання протилежних прикладів (що в основному показує, що протилежне справедливо, тому опосередковано використовується закон виключеної середини). Напевно, можливо, я справді хочу конструктивний доказ того, що щось неправдиве?

Я думаю, якщо я міг би знати, що якщо я докажу, що А не є помилковим (скажімо, я приймаю протиріччя), то це дійсно нормально, і мені не потрібно безмежно застосовувати всі правила і аксіоми умовиводу, і я гарантую, що A переміг не досягне протиріччя. Якби це було правдою, то я думаю, я міг би легше сприймати докази протиріччя. Це правда чи гарантія другої незавершеності Годеля, я не можу цього мати? Якщо я не можу цього мати, то що мені спантеличує, як це навіть можливо, щоб стільки років математиків займалися математикою, що ми не знайшли невідповідності? Чи потрібно покладатися на емпіричні докази послідовності? Або, наприклад, я проф F відповідає тому, що показує superF доводить F, але оскільки мені ніколи не знадобиться superF і просто F, то я не можу бути вмістом, який справді працює?

Я щойно помітив, що моя скарга також узагальнює прямі докази. Гаразд, якщо я зробив прямий доказ А, то я знаю, що А - це правда ... але як я можу знати, що якби я зробив прямий доказ не "А", я також не отримав би правильного доказу? Здається, це ж питання просто трохи інший наголос ....

Ви запитали (я роблю ваше запитання трохи чіткішим): "Яка формальна гарантія, що не може статися, що і і p призводять до суперечності?" Ви, здається, переживаєте, що якщо логіка суперечлива, то доведення суперечливістю проблематично. Але це зовсім не так.$\lnot p$$p$

Якщо логіка суперечлива, то доказ суперечливістю все-таки є дійсним правилом міркувань, але це і є запереченням, і правилом, яке говорить про те, що з можна зробити висновок, що ти наступний папа. Невідповідність логіці нічого не скасовує: навпаки, це підтверджує все !$1 + 1 = 2$

Існує ще одне можливе джерело плутанини: заголовок вашого запитання може читатись так, що передбачає, що закон виключеної середини говорить про те, що логіка є послідовною. Це неправильно. Послідовність логіки означає «не так, що і у твердження, і в його запереченні є докази», тоді як виключена середина - це правило, яке дозволяє нам доводити твердження форми .$p \lor \lnot p$

Доповнення: я не розумію, чому це питання викликає стільки дискусій. У мене проблеми з розумінням, що насправді є дилемою, і, наскільки я можу сказати, питання виникає у зв'язку з якимось непорозумінням. Якщо хтось зможе з’ясувати питання, я буду вдячний. Також я хотів би звернути увагу на такі моменти:

1. Доказ суперечливістю та виключеною серединою рівносильні один одному, і тому заголовок, як написано, не чуттєвий. Звичайно, ми не можемо мати одне без іншого, вони рівноцінні.

2. З того, що я можу зрозуміти з тривалої дискусії у питанні, ОП, здається, говорить або хвилює, що невідповідність логіки приводить до неправдивості. Це помилково, як я вказував вище. Я би вдячний за якусь відповідь від ОП: чи може ОП бачити, як невідповідність логіці (тобто вміння все доводити) не може визнати недійсними жодні докази?

3. Я вважаю , це ймовірно, але не можу сказати напевно, що ОП вважає , що закон виключеного середнього говорить , що це неможливо , так і ¬ р в трюм (з формулою: ¬ ( р ∧ ¬ р ) ). Це не виключається середина. Його іноді називають законом непротиріччі, і він є доказовим (без виключеного середини).$p$$\lnot p$$\lnot (p \land \lnot p)$

4. ОП вважає, що "неможливо безпосередньо довести, що щось неправдиве без виключеного середини". Він плутає доказ заперечення та доказ протиріччя, які не є одним і тим же . Пов’язаний пост містить безліч прикладів конструктивних доказів того, що щось неправдиве. Насправді більшість доказів того, що в підручниках щось неправдиве, є вже конструктивними.

5. Недосконалість Геделя затягнута з тієї причини, яку я можу помітити. Неповнота Ґеделя передбачає речення таким, що ні G, ні ¬ G не піддаються доказуванню. Це не означає, що G ∨ ¬ G є недосяжним (це простим застосуванням виключеного середини)! Ні звідси не випливає, що ¬ G ∧ ¬ ¬ G має місце, або деякі подібні. Тож як тут недоречність Геделя актуальна?$G$$G$$\lnot G$$G \lor \lnot G$$\lnot G \land \lnot\lnot G$

PS Вибачаюсь за попередню версію додаткового, яка була грубою.

Я думаю, що ваше запитання зводиться до "коли я роблю офіційну перевірку якоюсь формальною логікою, яка у мене гарантія того, що логіка є узгодженою?". А відповідь така: жодна. Це те, що ти повинен припустити. Офіційна перевірка не виключає всіх припущень; це просто допомагає вам бути зрозумілішим щодо того, що ви припускаєте, і, можливо, допоможе вам переконатися, що ви починаєте з припущень, які здаються розумними.

Якщо ви працюєте в рамках стандартної логіки, як правило, більшість людей із задоволенням вважають, що логіка є послідовною, навіть якщо вони не мають підтвердження цього факту. Це правда, що ми можемо коли-небудь виявити, що логіка насправді непослідовна ... але більшість людей вважають, що це не дуже ймовірно.

У деяких випадках можна довести, що логіка є послідовною, але це вимагає використання іншої більш потужної логіки, де ми маємо припустити, що друга логіка є послідовною, тому нам все одно залишається робити деякі припущення (припустимо, що деяка логіка є послідовною ). Це може сприйматись як доказ того, що перша логіка, ймовірно, є послідовною, якщо ви вважаєте, що друга логіка, ймовірно, є послідовною, але міркування повинні кудись знизитися - є деякі речі, про які ми маємо просто припустити, і не можемо їх довести.

Дивіться, наприклад, другу проблему Гільберта і цю дискусію про послідовність ZFC (і це, і це, і це, ймовірно, багато іншого).

Є багато цікавих філософських моментів, яких стосується ваша публікація.

Узгодженість булевої логіки

Питання про узгодженість теорії доказів у класичній логіці не так гостро, як ви це робите. Це в основному зводиться до наступного:

Ми можемо визначити булеву логіку як сукупність логічних функцій операцій на значеннях істинності 1та 0. Але як ми це знаємо 0≠1?

(зауважте, що я просто використовую 0і 1як абстрактні символи для двох значень істини; зокрема, я не припускаю тут жодного поняття цілого числа)

Ми, звичайно, не знаю , що 0і 1інші. Але булева логіка настільки смішно проста, що відмова від такої можливості є крайнім рівнем скептицизму.

Але класична логіка пропозицій зводиться до цього. Нагадаємо, що ми можемо будь-яким чином присвоїти булеві значення атомним пропозиціям, і це поширюється на присвоєння значення всім пропозиціям, які можуть бути побудовані з атомних.

Твердження «з Pвас можна вивести Q» - це буквально лише наказове відношення; це означає те саме, що і твердження, яке " v(P) ≤ v(Q)справедливо для кожної функції, vприсвоєння значень істини атомним судженням".

Правила умовиводу для логіки пропозицій - це саме властивості роботи з замовленням ≤. Доказом суперечності, зокрема, є спостереження, що якщо P ≤ 0, значить P = 0.

І повернувшись до Вашого питання ... якби ми знали і те, P ≤ 0і ¬P ≤ 0, не маючи після підключення цінностей правди, ми в кінцевому рахунку зробимо висновок про це 0=1; що правда і хибність означають те саме.

Отже, якщо у вас є впевненість, що "справжнє" та "помилкове" означають різні речі, то ви повинні мати аналогічну впевненість у послідовності булевої логіки.

Доведення протиріччям в інтуїтивістській логіці

Слід уважно зауважити, що доказ протиріччя краще формулювати як:

• Якщо ви можете отримати протиріччя P, тоді робіть висновок¬P

Насправді, можна відверто визначити заперечення як сполучник з цією властивістю. Наприклад, в алгебрі Хейтінга ви зазвичай бачите ¬P, яке означає P → 0.

Зазначимо, зокрема, особливий випадок

• Якщо ви можете отримати протиріччя ¬P, тоді робіть висновок¬¬P

Що ви описали як «доказ від протилежного» походить від ідентифікації ¬¬Pз P. Інтуїціоністська логіка не припускає, що вони є рівнозначними.

Послідовність як формальний договір

Існує більше обчислювальних формалізмів для кодування логіки; див. просто набране лямбда-числення, залежні типи, зокрема парадигма "пропозиції як типи".

Не вдаючись до деталей, протиріччя в основному трактується як формальний договір. Є тип, який я буду називати 0, і є договір "ці функції не можна використовувати для побудови елемента типу 0".

Якщо така система настільки смілива, що дозволяє побудувати функцію T → 0, то якщо вона дійсно дотримується договору, це означає, що так само неможливо побудувати будь-які об'єкти типу T. Це обчислювальна точка зору на те, що означає доказ протиріччя.

Зрештою, це не сильно відрізняється, ніж, наприклад, C-функція, яка повертає вказівник, обіцяючи не повернути нульовий покажчик, або функцію C ++, що обіцяє не кидати виняток.

І йдемо повним колом, повертаючись до класичної логіки, саме це ми і робимо.

Нам пропонуються формальні контракти, такі як "від аксіоми Пеано. Правила умовиводу не дозволяють вивести протиріччя". Якщо цей договір дійсно підтримується, то, якщо ви змогли показати, що ¬Pпередбачає суперечність, то Pви також не можете мати на увазі протиріччя.

І якби можна було порушити договір, ми просто сказали б "Аксіоми Пеано непослідовні".

Коли вони використовуються для гарантії істинності формального твердження, усі докази неявно припускають послідовність системи, на якій вони базуються. Це тому, що якщо система непослідовна, цілість системи порушується, і вся робота, яку ми виконували в цій системі в основному сміття.

Оскільки ми не можемо довести, що будь-яка система (або принаймні будь-яка складна система) є узгодженою в межах цієї системи, ми повинні сприймати це як емпіричну істину, а не як істинно доказувану істину. В основному, якщо математики проводять тривалий час, працюючи з формальною системою, і протиріччя ніколи не виявлено, то це емпіричні докази на користь послідовності системи. Крім того, ми можемо використовувати більш потужну систему, щоб довести послідовність системи, з якою ми працюємо (хоча послідовність цієї більш потужної системи все-таки була б емпіричною - долар десь зупиняється).

По суті, в математиці ситуація ідентична ситуації з наукою. Ми будуємо математику на основі теорій, які здаються правильними, грунтуючись на всій доступній нам інформації про ці теорії, і, як і в науці, ви не можете довести, що теорія є правильною; ви можете лише довести це неправильно.

Коли ми вперше почали намагатися базувати математику на теорії множин, ми фактично виявили, що наші перші формулювання теорії множин були непослідовними, оскільки вони дозволяли такі речі, як "нехай $S$

Незалежно від того, на якій системі аксіом ми обираємо математику, завжди існує небезпека, що ми виявимо протиріччя в цій системі. Саме тому математики не вводять в математику нових аксіом: кожна нова аксіома має шанс бути несумісною з аксіомами, які вже використовуються, і вся робота, яка використовує нову аксіому, повинна бути повністю переоцінена.

Додаток: Коли я кажу про те, що твердження є правдивим для даної системи, я маю на увазі, що воно не може бути спростоване в цій системі, якщо ця система є послідовною.