У чому саме полягає смислова різниця між множиною та типом?

EDIT: Зараз я задав подібне запитання про різницю між категоріями та наборами.

Кожен раз, коли я читаю про теорію типів (яка, правда, досить неформальна), я не можу реально зрозуміти, чим вона відрізняється від теорії множин, конкретно .

Я розумію, що між висловлюванням "х належить множина X" і "x належить до типу X" існує концептуальна різниця, оскільки інтуїтивно набір - це лише сукупність об'єктів, тоді як тип має певні "властивості". Тим не менш, набори часто визначаються і за властивостями, і якщо вони є, то у мене виникають проблеми з розумінням того, як ця різниця має значення в будь-якому випадку.

Таким чином , в найбільш конкретному чином це можливо, що саме це означає , про $x$ , щоб сказати , що вона має тип $T$ , по порівнянні з кажучи , що він є елементом множини $S$ ?

(Ви можете вибрати будь-який тип і набір, який робить порівняння найбільш зрозумілим).

Щоб зрозуміти різницю між множинами та типами, треба повернутися до передматематичних ідей "колекція" та "побудова", і побачити, як множини та типи їх математизують .

Існує спектр можливостей щодо математики. Дві з них:

1. Ми розглядаємо математику як діяльність, в якій математичні об’єкти будуються за деякими правилами (мислимо геометрію як діяльність з побудови точок, ліній та кіл за допомогою лінійки та циркуля). Таким чином, математичні об'єкти організовуються відповідно до того, як вони побудовані , і існують різні типи побудови. Математичний об’єкт завжди будується якимось унікальним способом, що визначає його унікальний тип.

2. Ми думаємо про математику як про величезний всесвіт, повний попередніх математичних об'єктів (подумайте про геометричну площину, як дано). Ми виявляємо, аналізуємо і думаємо про ці об’єкти (ми спостерігаємо, що в площині є точки, лінії та кола). Ми збираємо їх у комплект . Зазвичай ми збираємо елементи, які мають щось спільне (наприклад, всі лінії, що проходять через дану точку), але в принципі набір може містити довільний вибір об'єктів. Набір визначається його елементами, і лише його елементами. Математичний об’єкт може належати до багатьох наборів.

Ми не кажемо, що наведені вище можливості є єдиними двома, або що будь-яка з них повністю описує, що таке математика. Тим не менш, кожен з них може послужити корисним відправною точкою для загальної математичної теорії, яка корисно описує широкий спектр математичних занять.

Природно взяти типу і уявити собі сукупність всіх речей , які ми можемо побудувати , використовуючи правила T . Це розширення з T , і це НЕ Т сама. Наприклад, тут є два типи, які мають різні правила будівництва, але вони мають однакове розширення:$T$$T$$T$ $T$

1. Тип пар де n побудовано як натуральне число, а p побудований як доказ, що демонструє, що n - парне число, що перевищує 3 .$(n, p)$$n$$p$$n$$3$

2. Тип пар де m побудований як натуральне число, а q побудований як доказ, що демонструє, що m - непарний простір менший за 2 .$(m, q)$$m$$q$$m$$2$

Так, це нерозумні тривіальні приклади, але справа в тому, що обидва типи нічого не мають у своєму розширенні, але вони мають різні правила побудови. На відміну від цього, множини а { m ∈ N ∣ m  - непарний простір, менший ніж  2 }, є рівними, оскільки вони мають однакові елементи.

$$\{ n \in \mathbb{N} \mid \text{$n$ is an even prime larger than $3$} \}$$ $$\{ m \in \mathbb{N} \mid \text{$m$ is an odd prime smaller than $2$} \}$$

Зауважимо, що теорія типів не стосується синтаксису. Це математична теорія конструкцій, як і теорія множин - це математична теорія колекцій. Так буває, що звичайні виклади теорії типів підкреслюють синтаксис, і, отже, люди в кінцевому підсумку думають, що теорія типу є синтаксисом. Це не так. Плутати математичний об’єкт (конструкцію) з синтаксичним виразом, який представляє його (термін колишній) - це основна помилка категорії, яка спантеличує логіків давно, але вже не.

Для початку набори та типи навіть не на одній арені. Набори - це об'єкти теорії першого порядку, наприклад, теорія множин ZFC. Хоча типи схожі на зарослі сорти. Говорячи по - іншому, теорії множин є теорія першого порядку в логіці першого порядку. Теорія типів - це розширення самої логіки. Наприклад, теорія типу Мартіна-Лефа не представлена ​​як теорія першого порядку в логіці першого порядку. Не так часто говорити про набори та типи одночасно.

Як дискретні стани ящірок, типи (і сорти) виконують синтаксичну функцію. Сорт / тип поводиться як синтаксична категорія . Це дає нам знати, які вирази добре сформовані. Для простого прикладу з використанням сортів, скажімо, ми описали теорію векторних просторів над довільним полем як 2-сортовану теорію. У нас є свого роду для скалярів, , і свого роду для векторів, V . Серед багатьох інших речей, ми повинні були б операція для масштабування: и з л е : S × V → V . Це дає нам знати, що s c a l e ( s c a l $\mathsf S$$\mathsf V$$\mathsf{scale}:\mathsf S\times \mathsf V\to \mathsf V$$\mathsf{scale}(\mathsf{scale}(s,v),v)$ - просто не добре сформований термін. У контексті теоретичного типу, вираз виду вимагає п мати тип X → Y для деяких типів X і Y . Якщо f не має типу функції, то f ( x ) просто не є добре сформованим виразом. Незалежно від того, чи є якийсь вираз, чи має якийсь тип, це мета-логічне твердження. Немає сенсу писати щось на зразок: ( x : X $f(x)$$f$$X\to Y$$X$$Y$$f$$f(x)$ . По-перше, x : $(x:X)\implies y=3$$x : X$ просто не є формулою, по-друге, це навіть не має концептуальної сенсу, оскільки сорти / типи - це те, що дозволяє нам знати, які формули добре сформовані. Ми розглядаємо лише значення істинності добре сформованих формул, тому до того часу, коли ми розглядаємо, чи дотримується якась формула, ми краще вже знаємо, що вона добре сформована!

У теорії множин, а особливо у ZFC, єдиним нелогічним символом взагалі є символ відношення для встановленого членства, . Отже x ∈ y - це добре сформована формула зі значенням істини. Немає ніяких термінів, крім змінних. Усі звичні позначення теорії множин є певним розширенням до цього. Наприклад, формула на зразок f ( x ) = y часто вважається скороченою для ( x , y ) ∈ f, яка сама може вважатися скороченою для ∃ p . p ∈ f ∧ p = ( $\in$$x\in y$$f(x)=y$$(x,y)\in f$ , якасобою скорочену ∃ р . p $\exists p.p\in f\land p=(x,y)$

$$\exists p.p\in f\land(\forall z.z\in p\iff [z = x\lor(\forall w.w\in z\Leftrightarrow w = y)])$$ $f$$\pi(7)=3$$\pi$ справжнє число є цілком законним і значущим (а можливо, навіть істинним) заданим теоретичним виразом. В основному, все, що ви пишете, що аналізує теорію множин, може надати деяке значення. Це може бути мати цілком хибне значення, але воно має його. Набори - це також "першокласні" об'єкти в теорії множин. (Вони краще бути такими, якими вони є $$f(x)=\begin{cases}\mathbb N, &\text{if }x=1\\7,&\text{if }x=\mathbb Q\\x\cap \mathbb R^\mathbb R,&\text{if }x=(\mathbb Z,\mathbb N)\end{cases}$$ is a completely legitimate function in set theory. There is nothing even remotely analogous to this in type theory. The closest would be to use codes for a Tarskian universe. Sets are the objects of set theory; types are not the object of type theory.

A type is not a collection of things (neither is a set for that matter...), and it is not defined by a property. A type is a syntactic category that lets you know what operations are applicable to terms of that type and which expressions are well-formed. From a propositions-as-types perspective, what types are classifying are the valid proofs of the proposition to which the type corresponds. That is, the well-formed (i.e. well-typed) terms of a given type correspond to the valid proofs (which are also syntactic objects) of the corresponding proposition. Nothing like this is happening in set theory.

Set theory and type theory are really not anything alike.

In practice, claiming that $x$ being of type $T$ usually is used to describe syntax, while claiming that $x$ is in set $S$ is usually used to indicate a semantic property. I will give some examples to clarify this difference in usage of types and sets. For the difference in what types and sets actually are, I refer to Andrej Bauer's answer.

An example

To clarify this distinction, I will use the example given in Herman Geuvers' lecture notes. First, we look at an example of inhabiting a type:

$$3+(7*8)^5:\mathrm{Nat},$$ and an example of being member of a set: $$3\in \{n\in\mathbb{N}\mid \forall x,y,z\in\mathbb{N}^+ (x^n+y^n\neq z^n)\}$$

The main difference here is that to test whether the first expression is a natural number, we don't have to compute some semantic meaning, we merely have to 'read off' the fact that all literals are of type Nat and that all operators are closed on the type Nat.

However, for the second example of the set, we have to determine the semantic meaning of the $3$ in the context of the set. For this particular set, this is quite hard: the membership of $3$ for this set is equivalent to proving Fermat's last theorem! Do note that, as stated in the notes, the distinction between syntax and semantics cannot always be drawn that clearly. (and you might even argue that even this example is unclear, as Programmer2134 mentions in the comments)

Algorithms vs Proofs

To summarize, types are often used for 'simple' claims on the syntax of some expression, such that membership of a type can be checked by an algorithm, while to test membership of a set, we would in usually require a proof.

To see why this distinction is useful, consider a compiler of a typed programming language. If this compiler has to create a formal proof to 'check types', the compiler is asked to do an almost impossible task (automated theorem proving is, in general, hard). If on the other hand the compiler can simply run an (efficient) algorithm to check the types, then it can realistically perform the task.

A motivation for a strict(er) interpretation

There are multiple interpretations of the semantic meaning of sets and types. While under the distinction made here extensional types and types with undecidable type-checking (such as those used in NuPRL, as mentioned in the comments) would not be 'types', others are of course free to call them as such (just as free as they are as to call them something else, as long as their definitions fit).

However, we (Herman Geuvers and I), prefer to not throw this interpretation out of the window, for which I (not Herman, although he might agree) have the following motivation:

First of all, the intention of this interpretation isn't that far from that of Andrej Bauer. The intention of a syntax is usually to describe how to construct something and having an algorithm to actually construct it is generally useful. Furthermore, the features of a set are usually only needed when we want a semantic description, for which undecidability is allowed.

So, the advantage of our more stricter description is to keep the separation simpler, to get a distinction more directly related to common practical usage. This works well, as long as you don't need or want to loosen your usage, as you would for, e.g. NuPRL.

I believe that one of the most concrete differences about sets and types is the difference in the way the "things" in your mind are encoded into the formal language.

Both sets and types allow you to speak about things, and collections of things. The main difference is that with sets, you can ask any question you want about things and it will maybe be true, maybe not; while with types, you first have to prove that the question makes sense.

For example, if you have booleans $\mathbb B=\{\operatorname{true},\operatorname{false}\}$ and natural numbers $\mathbb N=\{0, 1,\dots \}$, with types, you can not ask if $\operatorname{true}=1$ which you can with sets.

One way to interpret this is that with sets, everything is encoded into a single collection: the collection of all sets. $0$ is encoded as $[0]=\{\}$, $n+1$ is encoded as $[n+1]=\{[n]\}\cup [n]$ and $\operatorname{true}$ and $\operatorname{false}$ can be encoded by any two distinct sets. So that it actually makes sense to ask if $\operatorname{true}=1$, as it can be understood as asking if "the encoding chosen for $\operatorname{true}$ is the same as the encoding chosen for $1$". But the answer to this question could change if we chose another encoding: it is about the encodings and not really about the things.

You can then think of types as describing the encoding of the things inside it. With types, to ask the question of whether $a=b$, you first have to show that $a$ and $b$ have the same type, i.e. that they were encoded in the same way, which prohibits questions such as $\operatorname{true}=1$. You could still want to have a big type $S$ in which both $\mathbb B$ and $\mathbb N$ could be encoded, and then given two encodings $\iota_\mathbb B:\mathbb B\to S$ and $\iota_\mathbb N:\mathbb N\to S$, you could ask whether $\iota_\mathbb B(\operatorname{true})=\iota_\mathbb N(1)$ but the fact that this question depends on the encodings (and the choice of encodings) is now explicit.

Note that in those cases, whether the question made sense was actually easy to see but it could be much harder as in, for example, $(\operatorname{if} \text{very_hard_question} \operatorname{then} 1 \operatorname{else} \operatorname{true})=1$.

In summary, sets let you ask any question you want, but types force you to make encodings explicit when the answer may depend on them.