Унікальні облицювання квадратів

Ми хочемо плитку $m\times m$-квадра з використанням двох типів плитки: $1 \times 1$-квадра плитка і $2 \times 2$- плитка-квадрат така, що кожен підстилаючий квадрат покритий без перекриття. Давайте визначимо функцію$f(n)$ що дає розмір найбільшого однозначно оброблюваного квадрата з використанням $n$ $1\times 1$-квадрати і будь-яку кількість $2 \times 2$-квадрати.

Чи можна цю функцію обчислити? Що таке алгоритм?

EDIT1: Виходячи з відповіді Стівена, унікальна плитка означає, що існує один спосіб розміщення $2 \times 2$-квадрати всередині $m \times m$-квадра з унікальною конфігурацією для позицій $n$ $1 \times 1$-квадрати всередині $m \times m$-Майдан.

Ось аргумент, який підтверджує мої міркування в коментарях про те, що не існує таких унікальних нахилів для жодного неквадрату $n\gt 5$. По-перше, як зазначив Сашо в коментарях,$n$ повинні бути обмежені, оскільки таких обрешіток не існує, якщо $n\equiv2$або . Якщо досконалий квадрат то очевидно, що квадрат є однозначно плитковим, тому чітко визначений і не є нульовим у цих випадках. Для завершення аргументу залишається лише показати, що жодна плитка, що включає або більше плиток може бути унікальною.$3\pmod 4$$n$$n=k^2$$k\times k$$f(n)$$1$$2\times 2$

Спочатку розглянемо випадок , скажімо, . Якщо у нас є плитка площі використанням плиток, очевидно, повинен бути рівним, скажімо ; тоді ми можемо побудувати черепицю з плиток, а потім замінивши з них на "блоки" чотирьох плиток . Зрозуміло, що різні заміни завжди можуть призвести до різного нахилу, за винятком випадків, коли або де є один одиничний$n\equiv 0\pmod 4$$n=4k$$m\times m$$n\ 1\times 1$$m$$m=2j$$j\times j$$2\times2$$k$$1\times 1$$m=4, n=12$$m=4, n=4$$2\times 2$плитка або один «блок із чотирьох», що залишився; однак у цих випадках існує інша нееквівалентна плитка, яка ставить плитку розміром посередині краю, а не кута.$2\times 2$

Нарешті, припустимо, що , зокрема, припустимо, що (і з запобігти злегка тривіальний випадок, коли у квадраті просто "недостатньо місця" для наступного аргументу, щоб пройти наступний аргумент ). Тоді жоден квадрат розміром або менший не може бути однозначно плитковим: розгляньте плитку з плиткою у верхній частині квадрата та праворуч від квадрата (із зайвими плиткою просто підтягнуті праворуч - вони не можуть вплинути на аргумент). Тепер "блок" у верхньому лівому куті квадрата (що складається з двох плиток зверху та$n\equiv 1\pmod 4$$n=4t+1$$t\gt 1$$(2t+1)^2$$1\times 1$$1\times 1$$2\times 3$$1\times 1$$2\times 2$плитку під ними) можна «перевернути», щоб вийшла плитка, яка обов'язково відрізнятиметься від створеної нами плитки. Нарешті, жоден квадрат розміром більше взагалі не може бути плитковим: припустимо, ми намагаємось викласти квадрат розміром для ; то за принципом голубої дуги ми не можемо розмістити більше квадратів плитки на квадрат, це означає, що є квадратів залишилось - але оскільки , , у нас є кількість плиток .$(2t+1)^2$$(2s+1)^2$$s\gt t$$s^2\ 2\times 2$$(2s+1)^2-4s^2 = 4s^2+4s+1-4s^2=4s+1$$s\gt t$$4s+1\gt 4t+1=n$$1\times 1$

Таким чином, єдиними унікальними обрізками, які існують для є такі, що взагалі не використовують плитки , а - лише ненульовий, коли - квадрат (у такому випадку він дорівнює ).$n\gt 5$$2\times 2$$f(n)$$n$$\sqrt{n}$