Чому існує більше не обчислюваних функцій, ніж обчислюваних?

Зараз я читаю книгу за алгоритмами та складністю. На даний момент я читаю про обчислювані та не обчислювані функції, і моя книга зазначає, що існує набагато більше функцій, які не обчислюються, ніж обчислювані, насправді більшість не обчислюється. В якомусь сенсі я інтуїтивно можу це прийняти, але книга не дає офіційного підтвердження, а також не дуже детально розглядає цю тему.

Я просто хотів побачити доказ / нехай хтось тут детальніше розробить це / зрозуміти більш чітко, чому існує так багато більше не обчислюваних функцій, ніж обчислювані.

Є лічильно безліч обчислюваних функцій:

Кожна обчислювана функція має щонайменше один алгоритм. Кожен алгоритм має кінцевий опис, використовуючи символи з кінцевого набору, наприклад, кінцеві бінарні рядки з використанням символів $\{0,1\}$ . Кількість кінцевих двійкових рядків, позначених $\{0,1\}^*$ можна зарахувати (тобто таке ж, як число натуральних чисел $\mathsf{N}$ ).

$c\in \{0,1\}^*$$f(x)=c$

Іншими словами, існує відповідність між:

• набір обчислюваних функцій,
• набір алгоритмів,
• $\{0,1\}^*$$\{0,1\}$
• $\mathbb{N}$

$f:\mathbb{N} \to \mathbb{N}$$f:\{0,1\}^* \to \{0,1\}^*$$\mathbb{N}^\mathbb{N}=2^\mathbb{N}$

$2^{\mathbb{N}}$

$\mathbb{N} < 2^\mathbb{N}$

$K$

$$F = \{ f \colon \mathbb{N} \to \{0,1\} : \forall x \in \mathbb{N}, f(2x) = K(x) \}.$$ $f \in F$$F$

$R$

$$G = \{ g \colon \mathbb{N} \to \{0,1\} : \exists n \in \mathbb{N} \forall m \geq n, g(m) = R(m). \}$$ $g \in G$$R$$G$$G$

Отже, існує безліч не обчислюваних функцій, оскільки у нас є "нескінченно багато" ступенів свободи - фактична нескінченність, а не "потенційна" нескінченність, як у випадку, що обчислюється.