Що означає провідний турнікет?

12

Я знаю, що різні автори використовують різні позначення для представлення семантики мови програмування. Власне кажучи, Гай Стіл вирішує цю проблему у цікавому відео .

Мені хотілося б знати, чи хтось знає, чи має провідний оператор турнікет добре розпізнане значення. Наприклад, я не розумію провідного $\vdash$ оператора на початку знаменника наступного:

\frac{x : T_{1} ⊢ t_{2} : T_{2}}{⊢ λ x : T_{1} . t_{2} : T_{1} \to T_{2}}

$\frac{x:T_1 \vdash t_2:T_2}{\vdash \lambda x:T_1 . t_2 ~:~ T_1 \to T_2}$

Може хтось допоможе мені зрозуміти? Дякую.

type-theory denotational-semantics

— Джим Ньютон
джерело

Пов’язане

— ліворуч близько

Нічого собі, це питання має більше 1-х переглядів, що більше, ніж сума переглядів усіх 29 нових питань! Як я перевірив, ні тег "теорія типів", ні тег "денотаційно-семантика" не входять до числа перших 50 популярних тегів. Мені цікаво причина цього явища. У мене немає підказки. @DW? У мене є мета питання?

— Джон Л.

Якщо я не помиляюся, вам слід перемістити оператор турнікетів ( ), у висновку правила, між і . Я також додав би тег

⊢

$\vdash$

λ x : T_{1}

$\lambda x:T_1$

t_{2}

$t_2$ type-checking

— mchar

3

@ Apass.Jack Це закінчилося в гарячих мережевих питаннях, тому через це стає все більше уваги.

— JAB

20

Ліворуч від турнікета можна знайти локальний контекст, кінцевий список припущень щодо типів змінних.

x_{1} : T_{1}, \dots, х_{н} : Т_{н} ⊢ е : Т

$x_1:T_1, \ldots, x_n:T_n \vdash e:T$

Вище, може дорівнювати нулю, що призводить до . Це означає, що припущення щодо змінних не робляться. Як правило, це означає , що є закритим терміном (без будь - яких вільних змінних) , що має тип . $n$ $\vdash e:T$ $e$ $T$

Часто правило, яке ви згадуєте, пишеться в більш загальній формі, де може бути більше гіпотез, ніж зазначена у питанні.

\frac{Γ, x : T_{1} ⊢ t : T_{2}}{Γ ⊢ (λ x : T_{1} . t) : T_{1} \to T_{2}}

$\dfrac{ \Gamma, x:T_1 \vdash t : T_2 }{ \Gamma\vdash (\lambda x:T_1. t) : T_1\to T_2 }$

Тут являє собою будь-який контекст, а являє собою його розширення, отримане додаванням додаткової гіпотези до списку . Зазвичай потрібно вимагати, щоб не з’явився у , щоб розширення не «суперечило» попередньому припущенню. $\Gamma$ $\Gamma, x:T_1$ $x:T_1$ $\Gamma$ $x$ $\Gamma$

— чі
джерело

7

Як доповнення до інших відповідей, зауважте, що існує три рівні "імплікації" при введенні похідних. І те саме зауваження стосується логічних виведень, оскільки насправді існує відповідність між цими двома (називається кореспонденцією Кері-Говарда).

Перший підтекст - це стрілка, яка відображається у формулах, і відповідає логічному імплікації у формулі (або типу функції для -рахунку). $\lambda$

Другий сенс матеріалізується символом турнікета і означає "припускаючи кожну формулу зліва, формула праворуч". Зокрема, правило, яке ви подаєте, говорить про те, як слід довести імплікацію: щоб довести , тоді треба довести під припущенням, що дотримується. З точки зору -рахунку довести, що має тип , треба показати, що має тип , припускаючи, що є змінною типу (див. відповідність?). $A \Rightarrow B$ $B$ $A$ $\lambda$ $\lambda x.t$ $A \to B$ $t$ $B$ $x$ $A$

Третій рівень імплікації матеріалізується горизонтальною смужкою і означає "якщо кожне приміщення (елементи вгорі) має місце, то висновок (елемент внизу) має місце". Ви можете пов’язати це з тлумаченням правила набору тексту для абстракції, яке ви дали (див. Пояснення в попередньому параграфі). $\lambda$

— Родольф Лепігр
джерело

3

У системах перевірки типу ( ) являє собою потрійне відношення щодо типів середовища, виразів і типів: . $\vdash$ $\vdash \texttt Env \times \texttt Exp \times \texttt Typ$

У вашому прикладі вираз вводиться на типі wrt. до середовища типу, що має припущення про тип, відображаючи до деякої змінної типу $t_2$ $T_2$ $T_1$ $x$

У цьому контексті середовище типу - це часткова функція, яка присвоює типи змінним, зазвичай позначається де $\Gamma$ $\Gamma \in \texttt Env : Var \rightharpoonup Typ$

Зауважте, що оператор зберігає свою функціональність незалежно від того, де він відображається, або в приміщенні, або у висновку правила.

— мчар
джерело

-1

У кожній ситуації, яку я бачив, означає, що існує доказ припускаючи, що дотримується. Якщо порожній, це означає, що є тавтологією: він має доказ, не потребуючи жодних припущень. $X\vdash Y$ $Y$ $X$ $X$ $Y$

— Девід Річербі
джерело

1

але якщо те, що ви говорите, є правдою, це дивно, тому що це також означає горизонтальну смугу, правда? Що якщо верхня правда, то нижня правда. Таким чином,

означатиме, що якщо

істинне, то

безумовно істинно.

\frac{X}{⊢ Y}

$\frac{X}{\vdash Y}$

X

$X$

Y

$Y$

— Джим Ньютон

1

Горизонтальна смуга означає, що річ на дні - це негайне відрахування від речі на верхній частині. Хоча я згоден, що у вашому прикладі виглядає дуже дивно, що безумовна істина походить від умовної ...

— Девід Річербі,

Теорія типів - це не логіка. Це, звичайно, пов'язано багатьма способами і (певною мірою навмисно) використовує подібні позначення, але, безумовно, немає апріорного зв'язку з відношенням доказності, а часто немає і післястеріозного зв'язку (принаймні, не з віддаленою розумною логікою). Як було написано, відповідь, в кращому випадку, вводить в оману, оскільки це говорить про те, що "

" - це формула, якої вона практично ніколи не є в теорії типів, наприклад, мова, що містить формули типу

зазвичай не описано і часто неможливо в стандартній мета-логіці, наприклад, для лінійного обчислення лямбда.

x : T_{1}

$x:T_1$

(x : T_{1}) \lor (y : T_{2})

$(x:T_1)\lor(y:T_2)$

— Дерек Елкінс вийшов SE

@DerekElkins Це система доказів, а системи доказів - це логіка.

- це

пропозиція, а

- це не що інше, як твердження, яке має пропозиція, коли

виконується. Те, що диз'юнкції пропозицій не є формулами, є просто обмеженням синтаксису логіки.

x : T

$x\colon T$

Γ ⊢ x : T

$\Gamma\vdash x\colon T$

Γ

$\Gamma$

— Девід Річербі

Це не просто диз'юнкція. Жодна з

,

або

є формулами. Або ви кажете, що це логіка, яка має лише атомні пропозиції? Я згадав лінійну логіку як приклад. У впорядкованій лінійній логіці дуже легко може бути випадок, коли

утримується час

\neg (x : A)

$\neg (x:A)$

(x : A) \land (y : B)

$(x:A)\land(y:B)$

(x : A) \to (y : B)

$(x:A)\to(y:B)$

x : A, y : B ⊢ t : C

$x:A,y:B\vdash t:C$

- ні. Яким сполучникам кома і

відповідають, що приймають "значення істини"

,

, і

і призводять до вищезазначеної поведінки? Існує варіант, якщо мета-логіка є також упорядкованою лінійною логікою, але тоді ми нічого не пояснюємо.

y : B, x : A ⊢ t : C

$y:B,x:A\vdash t:C$

⊢

$\vdash$

x : A

$x:A$

y : B

$y:B$

t : C

$t:C$

— Дерек Елкінс покинув SE