Чи існують алгоритми субекспоненціального часу для проблем, повних NP?

51

Чи є проблеми, повні NP, які мають доведені алгоритми субекспоненціального часу?

Я прошу загальних вкладів справи, я не говорю тут про спеціальні випадки, які можна простежити.

Під субекспоненціалом я маю на увазі порядок зростання над многочленами, але меншим за експоненціальний, наприклад . $n^{\log n}$

— ксб
джерело

10

Що ви маєте на увазі під «субекспоненціалом»? Якщо ви маєте на увазі , відповідь, безумовно, так. Якщо ви маєте на увазі , я вважаю, що відповідь - ні.

2^{o (n)}

$2^{o(n)}$

2^{n^{o (1)}}

$2^{n^{o(1)}}$

— JeffE

57

Залежить від того, що ви маєте на увазі підэкспоненциально. Нижче я пояснюю декілька значень "субекспоненціалу" і що відбувається в кожному конкретному випадку. Кожен із цих класів міститься в класах під ним.

I. $2^{n^{o(1)}}$

Якщо під субекспотенціалом ви маєте на увазі , то з гіпотези теорії складності під назвою ETH (експоненціальна гіпотеза часу) випливає, що жодна -тверда проблема не може мати алгоритм із запущеним часом . $2^{n^{o(1)}}$ $\mathsf{NP}$ $2^{n^{o(1)}}$

Зауважимо, що цей клас закритий під композицію з поліномами. Якщо у нас є субекспоненціальний алгоритм часу для будь-якої задачі -hard, ми можемо поєднати його зі скороченням поліноміального часу від SAT до нього, щоб отримати субекспоненціальний алгоритм для 3SAT, який би порушував ETH. $\mathsf{NP}$

II. , тобто для всіх $\bigcap_{0 < \epsilon} 2^{O(n^\epsilon)}$ $2^{O(n^\epsilon)}$ $0 < \epsilon$

Ситуація схожа на попередню.

Він закритий під многочленами, тому жодна -тверда проблема не може бути вирішена за цей час без порушення ETH. $\mathsf{NP}$

ІІІ. , тобто для деяких $\bigcup_{\epsilon < 1} 2^{O(n^\epsilon)}$ $2^{O(n^\epsilon)}$ $\epsilon < 1$

Якщо під субекспоненціалом ви маєте на увазі для деяких то відповідь "так", очевидно, є такі проблеми. $2^{O(n^\epsilon)}$ $\epsilon<1$

Візьміть -повне завдання, як SAT. Він має алгоритм грубої сили, який працює в часі . Тепер розглянемо доповнену версію SAT, додавши до входів рядок розміром : $\mathsf{NP}$ $2^{O(n)}$ $n^k$

S A T^{'} = {⟨ φ, w ⟩ ∣ φ \in S A T and | w | = | φ |^{k}}

$SAT' = \{\langle \varphi,w\rangle \mid \varphi\in SAT \text{ and } |w|=|\varphi|^k \}$

Тепер ця проблема є -твердою і її можна вирішити за час . $\mathsf{NP}$ $2^{O(n^\frac{1}{k})}$

IV. $2^{o(n)}$

Тут міститься попередній клас, відповідь аналогічний.

V. , тобто для всіх $\bigcap_{0 < \epsilon}2^{\epsilon n}$ $2^{\epsilon n}$ $\epsilon>0$

Тут міститься попередній клас, відповідь аналогічний.

VI. , тобто для деяких $\bigcup_{\epsilon < 1}2^{\epsilon n}$ $2^{\epsilon n}$ $\epsilon<1$

Тут міститься попередній клас, відповідь аналогічний.

Що означає субекспоненціал?

"Вище полінома" не є верхньою, але нижньою, і називається суперполіноміальною .

Такі функції, як , називаються квазіполіноміальними , і, як вказує ім’я, майже поліноміальні і далеко не експоненціальні, субекспоненціальна зазвичай використовується для позначення набагато більшого класу функцій із значно швидшими темпами зростання. $n^{\lg n}$

Як вказує назва, "субекспоненціальна" означає повільніше, ніж експоненціальна . Під експоненціалом ми зазвичай маємо на увазі функції в класі або в приємнішому класі (який закритий під складом поліномами). $2^{\Theta(n)}$ $2^{n^{\Theta(1)}}$

Субекспонеціальна повинна бути близькою до цих, але меншою. Існують різні способи зробити це, і немає стандартного значення. Ми можемо замінити на у двох визначеннях експоненціалу та отримати I та IV. Приємне в них те, що вони рівномірно визначені (немає квантора над ). Ми можемо замінити на мультиплікативний коефіцієнт для всіх , отримаємо II і V. Вони близькі до I та IV, але неоднорідно визначені. Останній варіант - замінити на мультиплікативну константу на деякий . Це дає II і VI. $\Theta$ $o$ $\epsilon$ $\Theta$ $\epsilon$ $\epsilon>0$ $\Theta$ $\epsilon$ $\epsilon<1$

Те, що слід назвати субекспоненціальним, можна сперечатися. Зазвичай люди використовують те, що потрібно у своїй роботі, і називають це субекспоненціальним.

Я моє особисте уподобання, це хороший клас: він закритий під композицію з поліномами і він рівномірно визначений. Він схожий на який використовує . $\mathsf{Exp}$ $2^{n^{O(1)}}$

II , схоже, використовується у визначенні класу складності . $\mathsf{SubExp}$

III використовується для алгоритмічних верхніх меж, як ті, що згадуються у відповіді Паля.

IV також поширений.

V використовується для викладення гіпотези ETH.

Перехрестя ( II і V ) не є такими корисними для алгоритмічних верхніх меж, їх головне використання представляється теорією складності. На практиці, ви не побачите різницю між I і II або між IV і V . IMHO, наступні три визначення ( IV , V , VI ) занадто чутливі, вони можуть бути корисними для певних проблем, але вони не є надійними, що знижує їх корисність як класи. Міцність і приємні властивості закриття є частиною причини, чому відомі класи складності, такі як , , , $\mathsf{L}$ $\mathsf{P}$ $\mathsf{NP}$ $\mathsf{PSpace}$ та цікаві. $\mathsf{Exp}$

Літній

ІМХО, основні визначення - I та III . У нас вже є субекспоненціальні алгоритми для задач -hard в розумінні III, і ми не можемо їх мати в сенсі Я, не порушуючи ETH. $\mathsf{NP}$

— Каве
джерело

7

Ця відповідь має перейти до Вікіпедії.

— Ерел Сегал-Халеві

32

Просто перерахуйте деякі, всі з часом роботи більш-менш або : $2^{O(\sqrt{n} \log n)}n^{O(1)}$ $2^{O(\sqrt{n})}n^{O(1)}$

Дуга зворотного зв'язку на турнірах [Нога Алон, Даніель Локштанов, Сакет Саураб, ALP 2009]
Мінімальне заповнення та заповнення ланцюга [Fomin та Villanger SODA 2012]
Видалення розділеного краю [Ghosh et al SWAT 2012]
Редагування кластерів з кластерами $t$ [Fomin et al STACS 2013]
Багато задач щодо двовимірності, різних задач на графіках з обмеженими графами роду та особливо плоских графіків (див. Demaine, Fomin, Hajiaghayi, Thilikos: Субекспоненціальні параметризовані алгоритми на графіках граф обмеженого роду та H-мінорів без вільних )
Субекспоненціально-часовий параметризований алгоритм для дерева Штайнера на планарних графіках [Pilipczuk et al STACS 2013]
Тривіально досконале завершення, поріг порогу та псевдоспліт завершення [D. та ін. STACS 2014]
Інтервальне завершення [Блізнець та ін.]
Правильне інтервальне завершення [Блізнець та ін.]

— Pål GD
джерело

1

Зауважте: ці алгоритми є субекспоненціальним часом у тому сенсі, що вони працюють у час (для деяких ), але не в тому сенсі, що вони працюють в часі .

2^{O (n^{ϵ})}

$2^{O(n^\epsilon)}$

ϵ < 1

$\epsilon<1$

2^{n^{o (1)}}

$2^{n^{o(1)}}$

— Каве

Чи існують алгоритми субекспоненціального часу для проблем, повних NP?

I.2no(1)2no(1)2^{n^{o(1)}}

II. , тобто для всіх⋂0<ϵ2O(nϵ)⋂0<ϵ2O(nϵ)\bigcap_{0 < \epsilon} 2^{O(n^\epsilon)}2O(nϵ)2O(nϵ)2^{O(n^\epsilon)} 0<ϵ0<ϵ0 < \epsilon

ІІІ. , тобто для деяких⋃ϵ<12O(nϵ)⋃ϵ<12O(nϵ)\bigcup_{\epsilon < 1} 2^{O(n^\epsilon)}2O(nϵ)2O(nϵ)2^{O(n^\epsilon)} ϵ<1ϵ<1\epsilon < 1

IV. 2o(n)2o(n)2^{o(n)}

V. , тобто для всіх⋂0<ϵ2ϵn⋂0<ϵ2ϵn\bigcap_{0 < \epsilon}2^{\epsilon n}2ϵn2ϵn2^{\epsilon n} ϵ>0ϵ>0\epsilon>0

VI. , тобто для деяких⋃ϵ<12ϵn⋃ϵ<12ϵn\bigcup_{\epsilon < 1}2^{\epsilon n}2ϵn2ϵn2^{\epsilon n} ϵ<1ϵ<1\epsilon<1

Що означає субекспоненціал?

I. $2^{n^{o(1)}}$

II. , тобто для всіх $\bigcap_{0 < \epsilon} 2^{O(n^\epsilon)}$ $2^{O(n^\epsilon)}$ $0 < \epsilon$

ІІІ. , тобто для деяких $\bigcup_{\epsilon < 1} 2^{O(n^\epsilon)}$ $2^{O(n^\epsilon)}$ $\epsilon < 1$

IV. $2^{o(n)}$

V. , тобто для всіх $\bigcap_{0 < \epsilon}2^{\epsilon n}$ $2^{\epsilon n}$ $\epsilon>0$

VI. , тобто для деяких $\bigcup_{\epsilon < 1}2^{\epsilon n}$ $2^{\epsilon n}$ $\epsilon<1$