Точний алгоритм для проблеми маркування краю в DAG

Я впроваджую деяку системну частину, яка потребує деякої допомоги. Тому я формулюю це як проблему графіків, щоб зробити його доменним незалежним.

Проблема: Нам подається спрямований ациклічний графік . Не втрачаючи загальності, припустимо, що має рівно одну вершину джерела і рівно одну вершину раковини ; Нехай позначає безліч всіх спрямованих шляхів від до в . Ми також дали безліч вершин . Проблема полягає в призначенні невід’ємних цілих ваг до країв , тому будь-які два шляхи в мають однакову вагу, якщо і лише якщо вони містять однаковий підмножин вершин у $G=(V,E)$ $G$ $s$ $t$ $P$ $s$ $t$ $G$ $R \subseteq V$ $G$ $P$ . (Вага доріжки - це сума ваг її країв.) Діапазон ваг доріжок у повинен бути якомога меншим. $R$ $P$

В даний час мій підхід не здається ефективним; Я просто шукаю деякі посилання на літературу чи якісь добрі уявлення. Все, що інакше, також цінується.

Редагувати: Чи існує доказ твердості для цієї проблеми? Чи існує компактна нумерація завжди?

— user5153
джерело

уточнюйте, будь ласка, "Діапазон ваг шляхів у P повинен бути оптимальним". Чи ваги лише цілі числа? Чи дозволяються нам негативні ваги? Чи означає оптимальне "якомога менший діапазон" чи це означає щось інше?

— Артем Казнатчеєв

я відредагував це питання. дякую за ваш коментар ваги повинні бути невід’ємними цілими числами, а діапазон повинен бути якомога меншим.

— user5153

Найпростішою стратегією створення правильного рішення було б присвоїти різну потужність двох у кожній вершині v в R, використовувати це число як вагу всіх вхідних ребер до v і призначити нулю ваги всім рештам ребрам. Очевидно, це може бути не оптимальним, але принаймні дає верхню межу необхідного діапазону. Чи колись вдосконалення зробити різні ребра через одну і ту ж вершину в R мають різну вагу одна від одної, чи ви можете спростити проблему, змусивши ваги йти вершинами, а не ребрами?

— Девід Еппштейн

Відповідь BTW @ DavidEppstein показує, що максимальна загальна вага шляху дорівнює

. Це жорстко до констант. Як приклад можна взяти графік

O (2^{| R |})

$O(2^{|R|})$

G = (V, E)

$G = (V, E)$

V = [n] \cup {s, t}

$V = [n] \cup \{s, t\}$

. Нехай також

. На

існує

різних шляхів, і оскільки кожен шлях має цілу негативну масу, принаймні один повинен мати вагу принаймні

E = {(i, j) : i < j} \cup {(s, 1), (n, t), (s, t)}

$E = \{(i, j): i<j\} \cup \{(s, 1), (n, t), (s, t)\}$

R = [n]

$R = [n]$

2^{n}

$2^n$

R

$R$

2^{n} - 1

$2^n -1$

— Сашо Ніколов

Впевнений, я мав на увазі жорстке в гіршому випадку (я фактично писав, що в першій версії цього коментаря, який загубився) подумав, що було б добре спершу встановити абсолютні межі, оскільки ще ніхто не вирішив проблему оптимізації.

— Сашо Ніколов

-6

я ще не чув про цю проблему саме в літературі [можливо, хтось інший], проте, як про "сусідню проблему", мені здається, дерево мінімального розміру має корисні властивості для вирішення вашої проблеми. наприклад, можливо, генеруючи два мінімально охоплених дерева, починаючи з вершини джерела та вершини синхронізації, і розповсюджуючи їх назовні, поки вони не торкнуться тощо, може вирішити проблему або дати близьку відповідь. перед тим, як хтось подзвонить мені з цього питання, плз зрозуміє, що я поширюю ідею про MST, який слід створити, починаючи з заданої вершини [зазвичай це починається з найкоротшого краю у всьому графіку]. якщо це не працює, мені буде цікаво з причини.

— взн
джерело

Вибачте, але я не бачу актуальності цієї відповіді на це питання.

— Девід Еппштейн

можливо, ви маєте краще уявлення, про що він говорить? чи має для вас сенс, як заявлено?

— vzn

Йому потрібно призначити ваги по краях. Як обчислити MST допоможе це?

— Ніколас Манкузо

нормально, прочитавши його, і якщо ніхто не запропонував відповіді, здавалося, що проблема може бути перетворена на дві частини-- (1) призначити ваги на основі критеріїв / обмежень; (2) знайти найкоротші шляхи на основі цих ваг. Здається, MST може бути корисним на (2). а може й ні! (напр., можливо, 1/2 щільно з'єднані)

— vzn

Ні. Мінімальні дерева, що охоплюють, призначені лише для ненаправлених графіків; вводиться графік введення. Більше того, мінімальні простягаються дерева лише поверхнево пов'язані з найкоротшими шляхами.

— Jeffε