Чи обмежує необхідність унікальності вагомих відповідей для Мерліна обмежувати силу протоколів Артура-Мерліна?

Преамбула.

Клас складності AM - це ті задачі, які можна вирішити двокруглою інтерактивною системою доказування між доказом "Мерлін" та верифікатором "Артур". Проблема - яка тестує деяку властивість об'єкта X - полягає в AM, якщо:

Для випадків ТАК для випадкового повідомлення про "виклик" (поліномальної довжини) Артур генерує, з великою часткою ймовірності, Мерлін може сформулювати відповідь (довжина полінома), яку Артур може використовувати як доказ того, що X має властивість;
Для NO випадків для випадкового повідомлення виклику Артур генерує, з високою ймовірністю Merlin не може сформулювати будь-яку відповідь , який може бути використаний в якості доказу власності, випробовуваний на X .

- Описаний клас не змінюється, якщо ми вимагатимемо від Мерліна дати корисну відповідь не просто з великою часткою ймовірності, але і на будь-який виклик, який може поставити Артур; у цьому випадку ми можемо сказати, що ми вимагаємо, щоб відповідь Мерліна завжди була дійсною для випадків ТАК , а тести Артура - це справедливість відповіді. Отже, якщо Мерлін коли-небудь видає недійсну відповідь, Артур знає, що проблемний екземпляр - це НЕ інстанція. Це налаштування, яке я вважаю за краще.

Прикладом є неізоморфізм графіка: задавши графіки G і H з однаковим набором вершинних міток, Артур може випадковим чином вибрати один із графіків і створити " скрембліровану " версію F , перевівши її вершинні мітки, відправивши презентацію Мерліну . Якщо два графіки не є ізоморфними, Мерлін може визначити, який з G або H Артур обрав, визначивши, F ≅ G або F ≅ H , і може відповісти, визначивши, який із двох F є ізоморфним. Однак, якщо два графіки G і H ізоморфні, Мерлін не може розрізнити, який графікF прийшов, і будь-яка відповідь, яку він дає, може бути правильною лише випадково. Таким чином, у випадках YES Merlin завжди може надіслати дійсну відповідь на будь-який виклик; для НЕ випадків будь-яка відповідь, яку може надіслати Мерлін, буде з високою ймовірністю недійсною.

У вищезазначеній проблемі не тільки існує дійсна відповідь, яку Мерлін може надати Артуру на кожен виклик, але насправді є унікальна дійсна відповідь: тобто вкажіть, кого з G або H Артур обрав, враховуючи, що це можна визначити за ідентифікації, ізоморфний F .

Питання.

Чи накладає обмеження в цих напрямках - що для випадків ТАК , на будь-який виклик, який Артур може надіслати, існує рівно одна дійсна відповідь для Мерліна - давати більш обмежуючий клас, в сенсі давати клас, який, як відомо, не дорівнює AM ?

cc.complexity-theory interactive-proofs unique-solution

— Ніль де Бодорап
джерело

Перш ніж розглянути питання про те, чи дорівнює він АМ чи ні, я навіть не розумію, як довести, що NP міститься у вашому класі….

— Цуйосі Іто

Якщо нам потрібно, щоб Мерлін мав одну дійсну відповідь лише з високою ймовірністю, тоді клас містить NP (і, мабуть, весь AM): ми можемо змусити Артура виконати зменшення Valiant – Vazirani до Unique-SAT.

— Еміль Йерабек підтримує Моніку

@Emil: Я розумію, що якщо "висока ймовірність" дорівнює 1 / poly, але чи можна збільшити цю ймовірність до, скажімо, постійної?

— Tsuyoshi Ito

Досить справедливо, це насправді досить мала ймовірність. Я не знаю, як зробити це постійним.

— Еміль Йерабек підтримує Моніку

Ви розглядаєте протоколи публічної монети чи протоколи приватних монет? З визначення, здається, ви думаєте про протоколи публічної монети, але описаний вами протокол для неізоморфізму графів не є протоколом публічної монети.

— Цуйосі Іто

$m$ $n$ $\mathbb{C}^n$ $p$ $H(p)=0$ $H$ $(a_0,a_1,\cdots, a_n)$ $m$ $\bmod p$

$\bmod p$ $p$ $\bmod p$ $p$ $p$

$p$ $\mathbb{C}^n$ $p$ $a$ $1-1/e$

Таким чином, у вищезазначеній проблемі існує не тільки обгрунтована відповідь, яку Мерлін може надіслати Артуру на кожен виклик, але насправді може бути велика кількість дійсних відповідей.

$p$ $p$

— Марк S
джерело