Наслідки невиправданості

Я читав " Невже P Versus NP формально незалежний? ", Але розгубився.

Широко поширена думка , в теорії складності , що . Моє запитання полягає в тому, що робити, якщо це не довести (скажімо, у Z F C ). (Припустимо, що ми тільки з'ясуємо, що P ≠ N P не залежить від Z F C, але більше інформації про те, як це доведено, немає).$\mathsf{P} \neq \mathsf{NP}$$ZFC$$\mathsf{P} \neq \mathsf{NP}$$ZFC$

Які будуть наслідки цього твердження? Більш конкретно,

твердість

Припускаючи, що фіксує ефективні алгоритми ( теза Кобхема - Едмондса ) та P ≠ N P , ми доводимо, що результати N P - h a r d n e s s випливають із того, що вони виходять за межі нинішніх можливостей наших ефективних алгоритмів. Якщо ми доведемо поділ, N P - h a r d n e s s означає, що не існує алгоритму багаточленного часу. Але що означає N P - h a r d $\mathsf{P}$$\mathsf{P} \neq \mathsf{NP}$$\mathsf{NP\text{-}hardness }$$\mathsf{NP\text{-}hardness}$ результат середнійякщо поділ не доказовою? Що буде з цими результатами?$\mathsf{NP\text{-}hardness }$

ефективні алгоритми

Чи означає недоцільність поділу, що нам потрібно змінити наше визначення ефективних алгоритмів?

Ваше питання може бути краще сформульоване: "Як би вплинула теорія складності, виявивши доказ того, що P = NP формально не залежить від якоїсь сильної аксіоматичної системи?"

На це питання трохи важко відповісти рефератом, тобто за відсутності ознайомлення з деталями доказу. Як згадує Ааронсон у своїй роботі, доведення незалежності P = NP вимагатиме докорінно нових ідей не лише щодо теорії складності, але і про те, як довести заяви про незалежність. Як ми можемо передбачити наслідки радикального прориву, про форму якого ми зараз навіть не здогадуємось?

Все ж є кілька спостережень, які ми можемо зробити. Після підтвердження незалежності гіпотези про континуум від ZFC (а пізніше від ZFC + великих кардиналів), значна кількість людей зійшлася з точкою зору, що гіпотеза про континуум не є ні істинною, ні хибною . Ми могли б запитати, чи люди будуть подібним чином дійти висновку, що P = NP не є "ні правдою, ні помилкою" після підтвердження незалежності (заради аргументу, припустимо, що P = NP виявляється незалежним від ZFC + будь-якого великого кардинальна аксіома). Думаю, ні. Ааронсон, по суті, каже, що ні. Друга теорема про незавершеність Геделя не привела ні до кого, кого я знаю, стверджувати, що "ZFC є послідовним" не є ні істинним, ні хибним.твердження, і більшість людей мають сильну інтуїцію, що арифметичні висловлювання - або принаймні арифметичні висловлювання настільки прості, як "P = NP" - повинні бути точними чи помилковими. Доказ незалежності просто тлумачиться так, що ми не можемо визначити, який з P = NP і P NP є таким.$\ne$

Можна також запитати, чи трактували б люди такий стан речей як те, що вони говорять нам про те, що в наших визначеннях П та НП є щось «не так». Можливо, нам слід потім переробити основи теорії складності з новими визначеннями, з якими можна прослідкувати? У цей момент я думаю, що ми перебуваємо у царині диких та безрезультатних спекуляцій, де ми намагаємось перетнути мости, до яких ми не дійшли, і намагаємось виправити речі, які ще не зламалися. Крім того, навіть не ясно, що б щось зробилобути "зламаним" у цьому сценарії. Теоретики заданих рад припускають будь-які великі кардинальні аксіоми, які вони вважають зручними. Так само теоретики складності можуть також у цьому гіпотетичному майбутньому світі бути абсолютно щасливими, якщо прийняти будь-які аксіоми розділення, які вони вважають істинними, хоча вони, мабуть, недоцільні.

Коротше кажучи, нічого логічного не випливає з доказу незалежності P = NP. Обличчя теорії складності може кардинально змінитися у світлі такого фантастичного прориву, але нам доведеться просто почекати і подивитися, як виглядає цей прорив.

Це справедливе запитання, хоча, можливо, трохи на жаль, сформульоване. Найкраща відповідь, яку я можу дати, - це посилання:

Скотт Аронсон: Форма P проти NP формально незалежна . Вісник Європейської асоціації теоретичних комп'ютерних наук, 2003, т. 81, стор 109-136.

Анотація: Це опитування щодо заголовного питання, написане для людей, які (як і автор) розглядають логіку як забороняючу, езотеричну та віддалену від своїх звичних проблем. Починаючи з кращого курсу теорії множин Zermelo Fraenkel, він обговорює незалежність оракул; природні докази; результати незалежності Розборова, Раз, ДеМілло-Ліптона, Сазанова та інших; та перешкоди для доведення P проти NP незалежно від сильних логічних теорій. Він закінчується деякими філософськими міркуваннями про те, коли слід очікувати, що математичне питання матиме визначений відповідь.

Як пояснює Тімоті Чоу, просто розуміння того, що теорема не залежить від теорії, не говорить багато про істинність / хибність цього твердження. Більшість неекспертів плутають формальну недоцільність у фіксованій теорії (наприклад, ) з неможливістю дізнатися цю відповідь на істинність / хибність твердження (або іноді безглуздість твердження). Незалежність і формальна невиправданість завжди означає незалежність / недоцільність втеорії$[ZFC][1]$. Це просто означає, що теорія не може довести ні твердження, ні її заперечення. Це не означає, що твердження не має значення істинності, це не означає, що ми не можемо знати значення істинності твердження, ми можемо додати нові розумні аксіоми, які зроблять теорію достатньо сильною, щоб мати можливість довести твердження або його заперечення. Зрештою, доказовість у теорії - формальне абстрактне поняття. Це пов'язано з нашим реальним світовим досвідом лише як модель.

Те саме стосується тези, що ефективне обчислення враховується класом складності $\mathsf{P}$ . Дивіться цю публікацію .

$\Sigma_1$$\Pi_1$ кандидатську дисертацію " Теорія домену та логіка спостережуваних властивостей ", 1987 та Стівена Вікерса ""Топологія через логіку ", 1996.)

$\mathsf{P} \neq \mathsf{NP}$$\Sigma_2$та шукайте публікації у списку розсилки FOM .

Як було доведено в цій роботі:

http://www.cs.technion.ac.il/users/wwwb/cgi-bin/tr-get.cgi/1991/CS/CS0699.revision.pdf

Якщо P! = NP може бути показано незалежним від арифметики піано, то NP має надзвичайно близькі до поліноми детерміновані верхні межі часу. Зокрема, у такому випадку існує алгоритм DTIME (n ^ 1og * (n)), який правильно обчислює SAT на нескінченно величезних інтервалах вхідних довжин.

Просто кілька розгульних думок з цього приводу. Сміливо критикуйте.

Нехай Q = [не може довести (P = NP) і не може довести (P / = NP)]. Припустимо, Q для протиріччя. Я також припускаю, що всі відомі відкриття про П проти НП все ще є життєздатними. Зокрема, всі задачі NP рівноцінні в тому сенсі, що якщо ви можете вирішити одну з них у поліноміальний час, ви можете вирішити всі інші за полиномний час. Тож нехай W є повною проблемою NP; W однаково представляє всі проблеми в НП. Через Q не можна отримати алгоритм A для розв’язування W у многочлен. В іншому випадку ми маємо доказ того, що P = NP, що суперечить Q (1) (*). Зауважте, що всі алгоритми обчислюються за визначенням. Отже, кажучи про те, що A не може існувати, випливає, що немає можливості обчислити W в многочленному часі. Але це суперечить Q (2). Нам залишається відхилити або (1), або відхилити (2). Будь-який випадок призводить до суперечки. Таким чином Q є суперечливістю,

(*) Ви можете сказати: "Ага! А може існувати, але ми просто не можемо його знайти". Ну, якщо A існував, ми можемо перерахувати через усі програми пошук A, перераховуючи від менших програм до більших програм, починаючи з порожньої програми. Потрібно бути кінцевим, тому що це алгоритм, тож якщо A існує, програма перерахування для його знаходження має закінчитися.