Глобальні властивості спадкових класів?

Спадковий клас структур (наприклад, графіки) - це той, який закритий під індукованими підструктурами, або рівнозначно, закритий при видаленні вершини.

Класи графіків, які виключають мінор, мають приємні властивості, які не залежать від конкретного виключеного мінора. Мартін Грое показав, що для графічних класів, що виключають мінор, існує поліноміальний алгоритм ізоморфізму, а логіка з фіксованою точкою з підрахунком фіксує час полінома для цих класів графіків. (Grohe, визначення фіксованої точки та поліноміальний час на графіках із виключеними неповнолітніми , LICS, 2010.) Це можна вважати "глобальними" властивостями.

Чи є подібні "глобальні" властивості, відомі для спадкових класів (або графіки, або більш загальні структури)?

Було б добре, щоб кожна відповідь була зосереджена лише на одній конкретній властивості.

Спадкові властивості дуже "стійкі" у наступному розумінні.

Нога Алон та Асаф Шапіра показали, що для будь-якої спадкової властивості , якщо графіку G потрібно додати або вилучити більше ϵ n 2 ребер, щоб задовольнити P , то в G є підграф , розміром не більше f P ( ε ) , яка не задовольняє P . Тут функція f залежить лише від властивості P (наприклад, не від розміру графа G ). Ердз зробив таку здогадку лише про властивість k -кольорості.${\cal P}$$G$$\epsilon n^2$${\cal P}$$G$$f_{\cal P}(\epsilon)$${\cal P}$$f$${\cal P}$$G$$k$

Дійсно, Алон і Шапіра доводять наступний сильніший факт: задавши , для будь-якого ϵ в ( 0 , 1 ) існує N ( ϵ ) , h ( ϵ ) і δ ( ϵ ), так що якщо в графі G є принаймні N вершин і потребує принаймні ϵ n 2 ребер, що додаються / видаляються для задоволення P , то принаймні δ частка індукованих підграфов на h вершинах індукований підграф порушує${\cal P}$$\epsilon$$(0,1)$$N(\epsilon)$$h(\epsilon)$$\delta(\epsilon)$$G$$N$$\epsilon n^2$${\cal P}$$\delta$$h$ . Таким чином, якщо${\cal P}$$\epsilon$ і властивість є фіксованими, щоб перевірити, чи вхідний графік задовольняє P або є ϵ -віддаленим від задоволення P , тоді потрібно лише запитати ребра випадкового індукованого підграфа постійного розміру з графіка та перевірити, задовольняє він властивість чи ні. Такий тестер завжди приймає графіки, що задовольняють P, і відхиляє графіки ϵ -далі від задоволення його постійною ймовірністю. Крім того, будь-яке майно, яке в цьому сенсі однобічно перевірено, є спадковою властивістю! Детальніше дивіться у статті Алона та Шапіри.${\cal P}$${\cal P}$$\epsilon$${\cal P}$${\cal P}$$\epsilon$

Це може бути не зовсім тим, що ви мали на увазі, але відомі обмеження щодо кількості граф на вершин, які можуть бути у спадковому класі графіків. Наприклад, не існує спадкового класу графіків, який має між 2 Ω ( n ) та 2 o ( n log n ) графіками на $n$$2^{\Omega(n)}$$2^{o(n\log{n})}$$n$ вершинах.

Довідка: Е. Шейнерман, Дж. Зито, Про розмір спадкових класів графіків, Журнал комбінаторної теорії, серія B

Це пов’язано з відповіддю Тревіса. Насправді це можна вважати сильнішою версією.

Стаття Bollob \ "як і Томасон показує (Combinatorica, 2000) , що в Ерд \ Н {про} С.Р. \» Enyi випадкові графи (з р деякої фіксованої постійної), кожне спадкове властивість може бути апроксимована то , що вони називати базовою властивістю. Основний майже означають граф, вершина безліч союзи г класів, S з яких прогонових кліків і г - s з яких охоплюють незалежні множини, але не зовсім. Це наближення використовується для характеристики розміру найбільшого P- набору, а також P -хроматичного числа G n $G_{n,p}$$p$$r$$s$$r-s$$\mathcal{P}$$\mathcal{P}$ , де$G_{n,p}$$\mathcal{P}$$p$

Для отримання більш детальної інформації про цю та пов’язану з цим роботу, існує опитування Боллоба " (Праці МКМ 1998), яке також дає захоплюючу гіпотезу за цими напрямками, але щодо гіперграфів.

Я вважаю глибокий зв'язок між спадковими властивостями та леммою регулярності Szem \ 'eredi дуже інтригуючим, оскільки він використовувався і тут, і в результаті Алона та Шапіри.

Відповідь Суреша про гіпотезу AKR змусила мене думати про ту саму гіпотезу щодо спадкових властивостей. Я думаю (якщо я не помилився) можу показати, що всі нетривіальні спадкові властивості мають (рандомізовані та детерміновані) складності дерева рішень$\Theta(n^2)$, яка врегулює гіпотезу AKR для таких властивостей (до констант).

Я спробував пошукати літературу, щоб побачити, чи це десь було показано, але не зміг знайти посилання. Отже, або я не міг її знайти, але вона існує, або теорема нецікава, або я помилився.

Отже, це ще один приклад глобальної властивості всіх спадкових властивостей графіка.

Згідно з гіпотезою Ерда-Хайнала , кожна спадкова сім'я має властивість, щоб графіки в ній мали кліки або незалежні множини поліноміального розміру (тобто$\Omega(n^c)$ для деяких $c>0$це залежить від родини, але не від графіка). Це на відміну від випадкових графіків, де найбільша кліка та найбільший незалежний набір є логарифмічними.

Це "зворотний" напрямок, але добре відома гіпотеза Андерраа-Розенберга-Карпа застосовується до властивостей графіків, які є монотонними вгору (тобто, якщо G задовольняє властивість, то так само робить будь-який графік у тих самих вузлах, набір крайових яких містить E (G )).