На розмірних многообразиях і решітках

EDIT (За Тарою Б): Я все ще зацікавився б посиланням на доказ цього, оскільки мені довелося це доводити для себе.

Я шукаю доказ теореми 4, який з’являється в цій статті:

Нескінченна ієрархія перетину мов, що не містять контексту , Лю та Вайнера.

Теорема 4: - мірне Афінний різноманіття виявляється у вигляді кінцевого об'єднання афінних многовидів кожен з яких має розмірність або менше.n - $n$$n-1$

1. Хтось знає посилання на доказ?
2. Якщо колектор кінцевий і ми визначаємо природний порядок на елементах, чи є подібне твердження з точки зору решіток?

Деякі передумови для розуміння теореми:

Визначення: Нехай - множина раціональних чисел. Підмножина - це афінний колектор, якщо коли , і . M ⊆ Q$\mathbb{Q}$$M\subseteq \mathbb{Q}^n$x ∈ M y ∈ M λ ∈ $(\lambda x+(1-\lambda)y)\in M$$x\in M$$y\in M$$\lambda\in\mathbb{Q}$

Визначення: афінний многообразие кажуть паралельно афінному багатообразию якщо для деякого . M M ′ = M + a a ∈ Q$M'$$M$$M'=M+a$$a\in \mathbb{Q}^n$

Теорема: Кожне непорожнє Афінний різноманіття паралельний унікального підпростору . Цей задається через K K K = { x - y : x , y ∈ M $M\subseteq \mathbb{Q}^n$$K$$K$$K=\{x-y:x,y\in M\}$

Визначення: вимір з непорожньої афінного різноманіття є розмірністю підпростору паралельно їй.

Інтуїтивно зрозуміла, що теорема говорить, що пряма не є кінцевим об'єднанням точок, площина не є кінцевим об'єднанням ліній і т. Д. Найпростішим доказом є, наприклад, спостереження, наприклад, що кінцеве об'єднання ліній має нульову площу, тоді як a площині немає.

Більш конкретно, зауважте, що достатньо довести претензію на багатообразиї на , перейшовши до їх закриття. Розглянемо афінний множинник заданий набором розв’язків лінійної системи ; його закриття буде саме набором рішень тієї самої системи над , отже, цей крок не впливає на розмірність залучених колекторів. Крім того, закриття скінченного союзу дорівнює об'єднанню замкнень. M⊆ Q n Ax=b R$\mathbb{R}^n$$M\subseteq \mathbb{Q}^n$$A x = b$$\mathbb{R}^n$

Тепер зауважимо, що -вимірна міра Лебега на багатовимірність розмірів є нульовою. Тому -вимірна міра Лебега скінченного об'єднання таких многообразий досі дорівнює нулю. Але -вимірна міра -вимірного многообразия є нескінченною, отже, ненульовою.$d$$\le d - 1$$d$$d$$d$

Щодо вашого другого питання, я не зовсім впевнений, що ви маєте на увазі. Але якщо базове поле є кінцевим, то будь-яке -вимірне афінний множинник над містить точок. Отже, за аналогічним аргументом підрахунку вам потрібно принаймніафінні проміжки розмірності для охоплення афінного простору розмірності . d F n | Ж | d | Ж | д / | Ж | d - 1 = | Ж | ≤ d - 1 $\mathbb{F}$$d$$\mathbb{F}^n$$|\mathbb{F}|^d$$|\mathbb{F}|^d/|\mathbb{F}|^{d-1}=|\mathbb{F}|$$\le d - 1$$d$

Ось бездоказовий доказ, який працює для афінних багатообразий над довільним нескінченним полем (результат невірний для кінцевих полів).$\mathbb F$

За допомогою індукції на ми покажемо, що афінний багатовимір A ⊆ F m розмірності n не є кінцевим об'єднанням афінних багатовидових розмірів менше n .$n\ge0$$A\subseteq\mathbb F^m$$n$$n$

Затвердження зрозуміло для : точка не є (кінцевим) об'єднанням порожніх множин.$n=0$

Припустимо, що твердження утримується для , ми покажемо його для n + 1 . Нехай A = ⋃ i < k A i , де dim ( A ) = n + 1 і dim ( A i ) ≤ n . Розглянемо довільну афінну підмножину B ⊂ A розмірності n . Оскільки B = ⋃ i ( B ∩ A i$n$$n+1$$A=\bigcup_{i<k}A_i$$\dim(A)=n+1$$\dim(A_i)\le n$$B\subset A$$n$$B=\bigcup_i(B\cap A_i)$з гіпотези індукції випливає, що для деякого i < k , тобто B = A i . Оскільки існують лише k множини A i , а B було довільним, то звідси випливає, що A має лише кінцево багато підмножин розмірності n . Однак це суперечність: якщо ми зафіксуємо будь-який такий підмножина B 0 і вектор v паралельний A, але не B $\dim(B\cap A_i)=n$$i<k$$B=A_i$$k$$A_i$$B$$A$$n$$B_0$$v$$A$$B_0$, Існує безліч афінних підмноговидів вид B 0 + про , де в ∈ F .$A$$B_0+av$$a\in\mathbb F$