Зменшення простору журналу від Parity-L до схем CNOT?

Питання.

У своїй роботі « Покращене моделювання ланцюгів стабілізатора» Ааронсон та Готтсман стверджують, що моделювання ланцюга CNOT є ⊕L-незавершеним (при скороченні простору журналу). Зрозуміло, що він міститься в ⊕L ; як тримається результат твердості?

Еквівалентно: чи існує скорочення простору журналу від ітераційних матричних продуктів за модулем 2, до ітераційних добутків елементарних матриць (обернених матриць, які реалізують перетворення рядків) mod 2?

Деталі

Контрольована НЕ (або CNOT ) операція є оборотною булева операції, форм дезмінюєтьсятількиj-^йбіт, і цей біт змінюється додаванням модуля 2, для будь-яких різних позиційhіj. Це не важко помітити, якщо інтерпретувати

{C N O T}_{h, j} (x_{1}, \dots, x_{h}, \dots, x_{j}, \dots, x_{n}) = (x_{1}, \dots, x_{h}, \dots, x_{j} \oplus x_{h}, \dots, x_{n})

$\mathsf{CNOT}_{\!h,j} (x_1\,, \;\ldots\;, x_h\,,\; \ldots\;, x_j\,, \;\ldots\;, x_n) \;\;=\;\; (x_1\,, \;\ldots\;, x_h\,,\; \ldots\;, x_j \oplus x_h\,, \;\ldots\;, x_n)$

x_{h}

$x_h$

як вектор над ℤ / 2ℤ, що це відповідає модулю перетворення елементарного рядка 2, який ми можемо представити матрицею з 1s по діагоналі та єдиним позадіагональним положенням. Тоділанцюг CNOT- це матричний добуток, що складається з добутку деяких елементарних матриць цього типу.

x = (x_{1}, \dots, x_{n})

$\mathbf x = (x_1\,, \;\ldots\;, x_n)$

Згаданий вище документ Ааронсона та Готтсмана (який, до речі, стосується цього питання, стосується класу квантових схем, які можна імітувати в ⊕L ), має розділ про обчислювальну складність. На початку цього розділу вони описують ⊕L так:

⊕L [є] класом усіх проблем, вирішених недетермінованим логарифмічним простором машиною Тюрінга, який приймає тоді і лише тоді, коли загальна кількість приймаючих шляхів непарна. Але існує альтернативне визначення, яке, мабуть, є більш інтуїтивним для некомпетентних вчених. Це так, що ⊕L - це клас проблем, що зводиться до імітації ланцюга CNOT поліноміального розміру, тобто ланцюга, що складається повністю з воріт NOT та CNOT, що діють на початковий стан | 0 ... 0⟩. (Неважко показати, що два визначення є рівнозначними, але для цього нам потрібно буде пояснити, що означає звичайне визначення!)

Цільова аудиторія статті включала значну кількість науковців, які не є комп’ютерами, тому бажання ухилитися не є необґрунтованим; Я сподіваюся, що хтось зможе уточнити, як тримається ця еквівалентність

Зрозуміло, що моделювання добутку таких матриць може виконуватися в inL як особливий випадок оцінки коефіцієнтів ітераційних матричних добутків (мод 2), що є повною проблемою (за скороченням простору журналу) для ⊕L . Крім того, оскільки матриці CNOT просто виконують елементарні операції рядків, будь-яка обернена матриця може бути розкладена як добуток матриць CNOT. Однак: не зрозуміло, як мені розкласти навіть неперевернуту матрицю mod 2 на добуток матриць CNOT шляхом зменшення простору журналу . (Дійсно, як зазначає Еміль Єржабек у коментарях, елімінації Гаусса достатньо для обчислення визначників mod 2, що є problemL -повною проблемою: настільки пряма атака шляхом розкладання напр. обернені матриці як добутки елементарних матриць, здається, неможливо здійснити в просторі журналів, якщо L = ⊕L . Тож, здається, потрібно дещо розумніше зменшити.

Я сподіваюся, що хтось може навести ескіз цього скорочення чи посилання ( наприклад, текст, для якого це вправа, якщо це просто).

— Ніль де Бодорап
джерело

Я припускаю, що обчислювальні детермінанти mod

також є -L-повними, отже, усунення Гаусса mod

є ⊕L-жорстким.

2

$2$

2

$2$

— Emil Jeřábek 3.0

@ EmilJeřábek: Я замислююся над вашим зауваженням, і я намагаюся зрозуміти, чи це негайно означає, що моделювання схем CNOT не є повним для ⊕L, якщо L = ⊕L . (Розглянемо добуток однієї матриці або добуток однієї матриці з матрицею ідентичності!) Це здається майже занадто простим; я щось пропускаю? Я припускаю, що, можливо, це виключає лише скорочення багатьох до одного.

— Ніль де Бодорап

Я не думаю, що це так просто. ⊕L - клас задач рішення, тоді як множення матриць на F_2 - функціональна проблема. Версія ⊕L множення матриці полягає в тому, щоб запитувати певний біт результату (скажімо, верхній лівий запис матриці). Чи може бути алгоритм журнального простору, який приймає послідовність матриць і створює послідовність елементарних матриць, щоб добутки обох послідовностей мали однаковий верхній лівий елемент? Це набагато слабше, ніж справжня Гауссова ліквідація. Насправді претензії Ааронсона та Готтесмана звучать правдоподібно для мене, хоча я не впевнений, як це довести.

— Emil Jeřábek 3.0

@ EmilJeřábek: Я думаю про те, як більшість проблем з рішенням decisionL ґрунтуються на перевірці індивідуальних коефіцієнтів проблем, природних для DET (звичайно говорити про проблеми функції як ⊕L-неповні , однак зловживання термінологія, яка є); і що моя інтуїція щодо матричних продуктів полягає в тому, що досить складно, що важко організувати спеціальні для будь-якого одного коефіцієнта, щоб два матричні продукти були рівні для цього коефіцієнта таким чином, що ви не можете бути абсолютно впевненими що всі інші коефіцієнти також будуть узгоджуватися.

— Ніль де Бодорап

Я зрозумів: підрахунок прийняття шляхів машини журнального простору дорівнює підрахунку шляхів у ациклічному графіку, який можна представити множенням верхніх трикутних матриць на 1 по діагоналі. Останні можна легко виразити як добуток елементарних матриць явним чином, без гауссової елімінації.

— Emil Jeřábek 3.0

Почнемо з -повної задачі підрахунку mod кількості шляхів довжиною від вершини до вершини у спрямованому графіку . Застосовуємо пару скорочень простору журналу наступним чином. $\oplus L$ $2$ $n$ $s$ $t$ $G=(V,E)$

Нехай є графіком таким, що і $G'=(V',E')$ $V'=V\times\{0,\dots,n\}$ $E'=\{((u,i),(v,i+1):i<n,(u,v)\in E\}\cup\{(w,w):w\in V'\}$ (тобто беремо копії ' s вершин, зробіть ребра від ї копії до -ї копії відповідно до $n+1$ $G$ $i$ $(i+1)$ $G$ країв , і додайте всі самокрутки). Тоді початкова задача еквівалентна підрахунку шляхів довжиною від до $n$ $s'=(s,0)$ $t'=(t,n)$ в . $G'$

Більше того, є ациклічним, і ми можемо чітко визначити перерахування таким чином, що всі ребра в окрім самостіб, переходять від до на деякий . Без втрати загальності, і . Нехай - матриця суміжності $G'$ $V'=\{w_k:k\le m\}$ $G'$ $w_k$ $w_l$ $k<l$ $w_0=s'$ $w_m=t'$ $M$ $G'$ wrt дане перерахування. Тоді - це верхня трикутна ціла матриця з $M$ $1$ по діагоналі, а кількість шляхів довжиною від до дорівнює правому верхньому елементу . $n$ $s'$ $t'$ $M^n$

M = \prod_{j = m}^{1} \prod_{i = 0}^{j - 1} E_{i, j} (M_{i, j}),

$M=\prod_{j=m}^1\prod_{i=0}^{j-1}E_{i,j}(M_{i,j}),$

E_{i, j} (a)

$E_{i,j}(a)$

a

$a$

i

$i$

j

$j$

\oplus L

$\oplus L$ case, the computation is modulo

2

$2$ , i.e., we consider the matrices over

F_{2}

$\mathbb F_2$ . (In this case, the elementary matrices can be only

E_{i, j} (0) = I

$E_{i,j}(0)=I$

E_{i, j} (1)

$E_{i,j}(1)$

# L

$\#L$

k

$k$

{M o d}_{k} L

$\mathrm{Mod}_kL$ -complete problem.

— Emil Jeřábek 3.0
джерело

I mean, it is

# L

$\#L$ -complete for elementary matrices with nonnegative integer coefficients. With arbitrary integers, it is DET-complete.

— Emil Jeřábek 3.0

The following is probably standard, but I hadn't explicitly seen it before: to show that finding the number of paths of length precisely n in a (possibly cyclic) digraph is ⊕L-complete, note that this amounts to computing coefficients of some power of an arbitrary matrix over

F_{2}

$\mathbb F_2$ , which is ⊕L-complete. This answer is then essentially as a reduction from matrix powering (using a standard construction of M as a block matrix consisting only of copies of the arbitrary adjacency matrix of G in the upper off-diagonal blocks, and 1 on the diagonal) to CNOT circuits. Nice answer!

— Niel de Beaudrap

You don’t need to go through matrix powering, whose ⊕L-completeness is harder to prove. ⊕L is defined by counting mod 2 the accepting paths of a nondeterministic logspace Turing machine (with polynomial time clock, I presume, so that the number is guaranteed to be finite), which is the same as counting paths in the configuration graph of the machine (it is easy to arrange that the paths all end in the same configuration, and that the paths have the same length, by making the machine go into a loop until its clock expires and then enter a fixed accepting state).

— Emil Jeřábek 3.0

I suppose that from focusing on the ideas in the paper Stucture and importance of Logspace-MOD classes by Buntrock et al., I've become much more accustomed to thinking in terms of number of paths of arbitrary length in an acyclic digraph, and the DET-like problems such as matrix products and powers which are naturally connected to it.

— Niel de Beaudrap