Чи є застосування методів реального аналізу до теоретичної інформатики?

18

Я шукав далеко та широко такі програми і в основному виявився коротким. Я можу знайти безліч застосувань топології та подібних структур на обчислюваних (або незлічуваних) множинах, але рідко я справді знаходжу незлічувані множини як об'єкт вивчення комп'ютерними вченими, і тому призводить до необхідності в техніці аналізу.

co.combinatorics big-picture

— роботбуд
джерело

Відповідно до того, що кажуть мої друзі, потрібен реальний аналіз в теорії інформації. Однак, якщо ви не залишите основи, це не здається популярним у тс (як мінімум, для мене).

— singhsumit

Теорії інформації мені достатньо! Якщо ви можете витягнути конкретний приклад, я позначу вашу відповідь як відповідь ..

— robinhoode

1

Є також обробка сигналів, графіка та що у вас є. Які прийоми ви шукаєте?

— Шир

4

Приклад (не впевнений, що це те, що ви шукаєте) з Інформаційної теорії:

I (X; Y) \geq 0

$I(X;Y)\geq 0$ , тобто взаємна інформація двох випадкових величин

X, Y

$X,Y$ - негативна. Це випливає безпосередньо з увігнутості

l o g

$log$ функції та нерівності Дженсена. (див. Елементи інформаційної теорії, Обкладинка та Томас, стор. 28)

— Шир,

Вас також цікавлять додатки комплексного аналізу?

— Рафаель

18

Ось два суміжні курси:

Аналітичні методи комбінаторики та КС Ехуда Фрідгута з Університету Торонто (2009),
Аналітичні методи комбінаторики та інформатики Ірит Дінур та Ехуд Фрідгут з Єврейського університету (2006).

Також перевірте замітки Райана О'Доннеля до його книги:

Аналіз булевих функцій Райана О'Доннелла.

і посилання у верхньому правому куті.

— Каве
джерело

1

Ці конспекти лекцій чудові! Гарний пост!

— Ніколас Манкузо

11

Дивіться книгу Конкретна математика - фундамент інформатики Грема, Кнута та Паташника. У главі 9 вони пояснюють формулу підсумовування Ейлера-Маклауріна . Це методика, яка дозволяє наблизити кінцеву суму за допомогою інтегралів. У цій же главі, сторінка 466, вони використовують цю методику для апроксимації гармонічного числа (якого в декількох областях TCS виявляється багато). Це трапилося зі мною одного разу, коли я мав його використовувати, і закінчив вирішувати інтеграл, використовуючи методи асимптотичного наближення для диференціальних рівнянь!

— Маркос Вільягра
джерело

Хороші посилання, але чи не це більш чисельний аналіз?

— Гек Беннетт

це абсолютно аналітично.

— Маркос Віллагра

9

Існує теорія меж послідовностей щільних графів, розроблена в роботі Ловаша і Б. Сегеді. Це має наслідки для певних проблем тестування властивостей на графіках. Дивіться http://www.cs.elte.hu/~lovasz/hom-stoc.pdf . В основному ідея полягає в тому, що вони визначають відповідну метрику на графах і поняття взяття меж послідовностей графів, а потім вони показують, що властивість графа перевіряється, якщо функція, яка відображає графік на відстань редагування до властивості, є безперервною у метричний простір на графіках, який був визначений.

І тоді, безумовно, існує магнум опус Флайолета та Седжвік, повністю присвячений використанню аналітичних методів для асимптотичного аналізу комбінаторних структур, включаючи аналіз алгоритмів. Це здебільшого породжуючі функціональні хитрощі, спираючись на складний аналіз

— Сашо Ніколов
джерело

2

Варто згадати, що теорія обмежень графів і, ширше, аналіз графіків є дуже гарячою темою, див., Наприклад, math.ias.edu/cga

— Марцін Котовський,

приємний вказівник @MarcinKotowski. приємно мати laci lovasz у цьому районі :)

— Сашо Ніколов

8

Як згадував Шир, нерівномірність Дженсена проявляється постійно. Особливо у доведенні меж у комбінаторних проблемах. Наприклад, розглянемо таку проблему:

З огляду на сімейство підмножини , його графік перетину визначається через тоді і лише тоді, коли . Припустимо, що середній заданий розмір і що середній розмір парних перетинів становить не більше k. Показати що $S_1, \ldots, S_n$ $V = \{1, \ldots, n\}$ $G = (V, E)$ $\{i, j\} \in E$ $S_i \cap S_j \neq \emptyset$ $r$ . $|E| \geq \frac{n}{k} \cdot \binom{r}{2}$

Доказ:

Порахуємо пари такими, що і . Давайте спочатку виправимо , побачимо, що існує максимум таких варіантів. Взявши також усі значення , маємо верхню межу $(x, (S_i, S_j))$ $x \in V$ $x \in S_i \cap S_j$ $(S_i, S_j)$ $k$ $(S_i, S_j)$ . Тепер виправляємо х. Неважко помітити, що коженмає $k \cdot \binom{n}{2} = k \cdot |E|$ $x$ способи вибору. За нерівністю Дженсена ми маємо: $\binom{d(x)}{2}$ $(S_i, S_j)$

. $n \cdot \binom{r}{2} = n \cdot \binom{\frac{1}{n}\sum_x d(x)}{2} \leq \sum_x \binom{d(x)}{2} \leq k \cdot |E|$

Ми нарешті поєднуємо терміни, щоб мати . $\frac{n}{k} \cdot \binom{r}{2} \leq |E|$

Хоча це трохи більше "математично", ніж CS, він служить для того, щоб показати, як можна використовувати інструмент для опуклих функцій - особливо в комбінаторній оптимізації.

— Ніколас Манкузо
джерело

зауважте, нерівність Дженсена, здається, дуже пов'язана з Ердом "осма соняшникової леми (дискретна версія, що спостерігається в нижніх межах"), хоча я не думаю, що я бачив, що

— довелося

7

як щодо ефективного обчислення з Дедекінд Реал Андрія Бауера та Пола Тейлора.

— взн
джерело

2

Мені дуже подобається читати про роботу в цьому - точне обчислення реального числа пропонує цікавий погляд на те, що таке незлічувані набори, а також деякі розумні алгоритми.

— Neel Krishnaswami

... Андрій Бауер та Пол Тейлор , будь ласка.

— Андрій Бауер

2

Ой, я можу редагувати публікацію. Виправлено.

— Андрій Бауер

стенд виправлений. використав автор, вказаний на папері. можливо, ви повинні поставити його як співавтора газети

— vzn

1

Це залежить від того, теорія, в якій ви намагаєтесь довести це, є класичною чи конструктивною. Конструктивно ви просто використовуєте стандартний аргумент діагоналізації, щоб показати, що вони незлічувані. Оскільки реальні числа мають бути реалізовані обчислювальними процесами, то з класичного POV конструктивне підтвердження говорить про те, що проблема зупинки не може бути вирішена. Це частина того, що я мав на увазі, коли я сказав, що він пропонує цікаві перспективи щодо того, що таке безлічі наборів ..!

— Ніл Крішнасвамі

3

Дуже поширеною і часто корисною технікою при підході до задачі з дискретної математики є вбудовування її в безперервну область, оскільки це дозволяє використовувати більш багатий вибір математичних інструментів. Отже, виправляючи мою відповідь: окрім полів, у яких реально буде відображатися реальний аналіз (графіка, обробка сигналів та інші поля, що імітують чи взаємодіють із фізичним світом), воно в основному з’являється скрізь, і в місцях, де його не було - мій здогадуйтесь, чи буде це в майбутньому.

Кілька прикладів:

Помилка виправлення кодів: Коди Рида Соломона використовують многочлени. Деякі межі кодів передбачають перегляд індикаторної функції коду як функції від дискретного куба до дійсних даних, таким чином застосовуючи перетворення Фур'є та інші методи.
Імовірнісний метод - теорема вимірювання концентрації (аналітичний інструмент) використовується для показу різних властивостей випадкових графіків (наприклад, хроматичного числа). Дивіться книгу Алона та Спенсера.
Теорема перетину (це більше стосується комбінаторики, але все одно) - графік з вершинами та ребрами має щонайменше $v$ $e$ перехрестя. Доведення передбачає взяття випадкового графіка та оптимізацію параметрів за допомогою виведення. $\frac {1}{61} \cdot \frac {e^3} {v^2}$
$k-1$ $k$ $k-1$

— Шир
джерело

Конкретні приклади, будь ласка?

— Марцін Котовський

Я додав 4 приклади, хоча думаю, що їх так багато, ми можемо реально їхати цілий день.

— Шир

2

Якщо я правильно пригадую теорему Нога Алона про розщеплення кольє, використовує безперервний варіант задачі.

Дивіться: http://www.cs.tau.ac.il/~nogaa/PDFS/nocon.pdf

Про це також згадується на сторінці вікі тут: http://en.wikipedia.org/wiki/Hobby%E2%80%93Rice_theorem

— Ар'ябхата
джерело

2

Поле, обмежене ресурсами, застосовує міру Лебега до класів складності. Ідея полягає в отриманні поділу між класами складності, говорячи про відносні "розміри" цих множин.

— мікеро
джерело

2

Існує прекрасна папір: Квантове одностороннє спілкування експоненціально сильніше, ніж класичне спілкування Boaz Klartag & Oded Regev, яке використовує досить велику кількість методів реального аналізу, які нечасті в TCS, включаючи перетворення Радона, сферичну гармоніку та гіперконтрактивність нерівності (недискретна) одинична сфера

— user887
джерело

1

Експоненціальна нижня межа для розміру монотонних реальних схем (1997) Хакен, Кук

— взн
джерело

3

чому це окрема відповідь від вашої першої? Чому б не просто редагувати?

— Артем Казнатчеєв

інша область застосування

— vzn

1

Я завжди вважав зв’язки між регулярними / без контексту мовами та теорією функцій ((формальної) силової серії) досить хвилюючими: саме тому французи називають ці мовні класи "раціональними" та "алгебраїчними". Це також вказує на зв’язки з фрактальною геометрією. Так само, наприклад, кінцеві автомати можуть визначати мови для нескінченних слів, які мають приємні топологічні властивості, якщо вони оснащені стандартною метричною топологією.

Іншим зв’язком може бути нещодавно розроблена теорія "встановлених згортків", яка дозволяє прискорити кілька алгоритмів, аналогічних тому, що відомо з перетворень Фур'є. Я припускаю, що це принаймні "натхненна схожість".

— Геннінг Фернау
джерело