Чи є вирішальні проблеми, для яких за жодного алгоритму ми не можемо дати межі часу?

12

Чи є такі вирішальні проблеми, що для жодного алгоритму, який би вирішив задачу, ми можемо задати часовий проміжок як функцію довжини n вхідного екземпляра?

Я прийшов до цього питання, бо думав про наступне:

Припустимо, у нас є рекурсивно численні, але нерозв'язні проблеми. Припустимо далі, що я є "так" -статиною проблеми. Тоді без жодного алгоритму, який би ідентифікував "так" -задачі проблеми, ми можемо дати час, обмежений у розмірі n I. Бо якби ми могли дати такий обмежений час, ми могли б вирішити проблему, як ми могли просто зробіть висновок, що я перевищую обмежений час.

Оскільки ми не можемо задати час для рекурсивно численних, нерозбірливих проблем (за час обчислення для "так" -речовин), мені було цікаво, чи існують вирішальні проблеми, для яких ми не можемо дати обмеження часу.

computability time-complexity

— Герман
джерело

9

Існує тривіальний час, пов'язаний з такими алгоритмами: запустіть алгоритм і поверніть кількість кроків, виконаних цим алгоритмом. З іншого боку, легко побудувати приклади, для яких важко дати межі, які легко зрозуміти або виразити, наприклад, функція ackermann.

— коді

2

Вам доведеться бути більш точним. Якщо говорити про (математичні) функції, то так, є функція, яка відповідає часу роботи будь-якої машини Тьюрінга (насправді функцій більше, ніж у машин Тьюрінга). Якщо ви говорите про обчислювані функції або, що еквівалентно, алгоритми, то @cody дає відповідь: просто запустіть машину Тьюрінга, вирішивши проблему, і порахуйте її час роботи.

— Олексій десять Брінк,

8

@AlextenBrink: Насправді, щоб отримати найгірший час роботи як функцію вхідного розміру

, потрібно запустити машину Тьюрінга для всіх можливих входів розміром

та взяти максимум. Але це, звичайно, також можливо.

n

$n$

n

$n$

— Юкка Суомела

8

Чи можу я запропонувати перегляд? Щоб уникнути тривіальної відповіді, припустимо, що ми визначимо фразу "ми можемо задати часовий проміжок", щоб означати, "ми можемо швидше обчислити верхню межу найгіршого часу виконання, ніж запустивши алгоритм у всіх екземплярах розміру n". А може бути, "всі екземпляри" повинні бути "єдиним екземпляром".

— Jeffε

1

Ваш аргумент залежить від загальної обчислюваної функції, пов'язаної з часом . Загальновідомо, що цього неможливо зробити, але якщо це ваше питання (тобто є часткові обчислювані функції без повного розширення обчислювальної функції), то питання не на рівні дослідження. Будь ласка, перегляньте поширені запитання щодо пропозицій щодо того, де ви можете поставити подібні запитання.

— Каве

13

$A$ $\mathsf{In}$

f (n) = max_{i \in I n (n)} t i m e (A (i)),

$f(n)=\max_{i\in \mathsf{In(n)}}~~ \mathsf{time}(A(i)),$

I n (n)

$\mathsf{In}(n)$

n

$n$

t i m e (A (i))

$\mathsf{time}(A(i))$

A

$A$

i

$i$

Якщо ми використовуємо прості алгебраїчні терміни (без будь-якої рекурсії) як визначення лаконічних, то я вважаю, що відповідь ні: Є проблеми, які можна вирішити, але складність яких не відповідає. Тобто не існує стека форми який обмежує час виконання алгоритму для задачі розміром n. $2^{2^{2^{2^{\dots^n}}}}$

Я сподіваюся, що я зрозумів ваше запитання правильно.

— Маркус
джерело

6

Це питання дещо інше, ніж Маркус, але, зважаючи на ваше пояснення того, як ви придумали це питання, це може бути ближче до того, що ви шукаєте.

Іноді можна довести, що проблема вирішується, не маючи можливості виставити алгоритм її. Найвідомішим прикладом подібного роду є робота Робертсона та Сеймура про неповнолітніх графів, яка показує, що будь-яке спадкове властивість графа можна визначити за багаточлен, перевіряючи наявність відповідного кінцевого списку заборонених неповнолітніх. Їх докази свідчать лише про те, що існує обмежений список заборонених неповнолітніх, але це не дає рецепту для пошуку списку.

Я не є експертом у цій галузі, тому не знаю напевно конкретного прикладу спадкової графічної властивості, для якої ми не можемо виставити алгоритм, оскільки ми не знаємо списку заборонених неповнолітніх і не знаємо іншого способу вирішити проблему, але я підозрюю, що такі приклади існують. (І ми можемо обмежити час роботи для пошуку прикладу, якщо він існує, оскільки ми знаємо, що в світі є щонайменше 8 мільярдів людей, і в гіршому випадку ми могли б їх усіх запитати!)

Ще одне зауваження: Так як ми знаємо , що перевірка на неповнолітнього може бути зроблено в час, можна стверджувати , що у всіх випадках обладнані алгоритмом Робертсона-Сеймура, ми дійсно маємо «оцінка» з на час виконання. Однак я б заперечив, що це свого роду обман, якщо ми не будемо обмежуватись постійними. $O(n^3)$ $O(n^3)$

— Тімоті Чоу
джерело

2

Але якщо вибрати явний набір виключених неповнолітніх, то можна демонструвати алгоритм. Краще було б вибрати якесь спадкове майно, яке не вивчалося. Це дещо складніше зробити, хоча.

— Тімоті Чоу

2

Це досить дотично до вашої точки зору, але: незначні закриті властивості графа насправді можна вирішити вчасно research.nii.ac.jp/~k_keniti/quaddp1.pdf .

O (n^{2})

$O(n^2)$

— Еміль Єржабек

1

@ EmilJeřábek: ще дотичніше вирішити, чи буде графік із неповнолітньої сім'ї задовольняти властивість першого порядку, можна зробити в лінійний час: arxiv.org/abs/1109.5036

— András Salamon

1

До речі, Коварабаяші і Вуллан вимагають обмеження константи у своєму документі STSI 2011 dsi.uniroma1.it/~wollan/PUBS/shorter_struct_web.pdf, який також повідомляє про подальший прогрес, який "ще не повністю записаний". Однак я не можу легко витягти явну межу з цього документу.

— Андраш Саламон

2

Для такого прикладу у вас є графіки з площинною кришкою. Дивно, що ми майже знаємо список: є 31 заборонені неповнолітні та 32-й потенційний, але для цього останнього відкрито, чи має він планарне покриття чи ні. Тому у нас немає алгоритму для цього класу графіків. Дивіться, наприклад: fi.muni.cz/~hlineny/papers/plcover20-gc.pdf

— Денис

3

Щоб додати іншу точку зору, дозвольте мені згадати, що не кожна проблема має "внутрішню" складність, що, мабуть, є найцікавішим і якось занедбаним наслідком теореми про прискорення Блума.

По суті, теорема стверджує, що, зафіксувавши бажану швидкість g, ви завжди можете знайти обчислювальну задачу P таку, що для будь-якого розв'язання програми P існує інша програма, яка все ще розв'язує P і працює в g-рази швидше, ніж попередня.

Отже, для подібних проблем ви не можете дати обмежений час. Дивовижний і досить дивовижний результат. Звичайно, P має дуже велику складність.

— Андреа Асперті
джерело

Чому Р має дуже велику складність?

Оскільки процес прискорення може бути повтореним, отже, він повинен бути сумісним з нескінченним ланцюжком алгоритмів зменшення складності.

— Андреа Асперті

3

Теоретичний аспект вашого питання опікується Маркусом. Більш практично цікавим способом зрозуміти ваше питання є: чи існують вирішальні проблеми, про які ми не знаємо жодного часу?

Відповідь - так: наприклад, може статися, що у вас є напів алгоритм для випадків проблеми YES та напівалгоритм для випадків NO. Це дає вирішення вашої проблеми, але не обмежене часом.

Ось загальний приклад: припустимо, у вас є аксіоматична система, яка дозволяє вам доводити всі справжні тотожності в якійсь алгебрі. Більше того, ви знаєте, що помилкові ідентичності завжди свідчать про скінченну структуру.

$I$ $I$ $I$ $I$

Прикладом цього є афінна лінійна логіка (LLW): тепер, як відомо, вона є повною [1], але деякий час не було відомих меж, і було показано лише розбірливість, використовуючи серед інших методик скінченну властивість моделі [2] .

Список літератури:

[1] Неелементарні складності для розгалуження VASS, MELL та розширень. Ранко Лазіч і Сільвен Шмітц. CSL-LICS 2014

[2] Кінцева властивість моделі для різних фрагментів лінійної логіки. Ів Лафонт, Дж. Симб. Логіка. 1997 рік

— Денис
джерело

-4

як заявили інші, питання не задається таким чином, щоб уникнути тривіальної відповіді, проте є деякі концепції в теорії TCS і чисел, які пов'язані / схожі.

1) в теоремах ієрархії простору і часу потрібні поняття функцій, що конструюються в часі та простору, що можна сконструювати . існують неконструктивні та непростірні конструктивні функції, що призводять до незвичайних властивостей, виявлених у теоремах Блюма, таких як теореми "розрив, швидкість". більшість (усіх?) класів складності std визначаються з точки зору простору та часу, що можна сконструювати.

2) функція Аккермана є тотальною рекурсивною, але не примітивною рекурсивною, і це має наслідки для обмеженого часу. примітивні рекурсивні функції в деякому сенсі являють собою "основні" математичні операції.

3) існують thms щодо послідовностей теорії чисел, незрівнянних у арифметиці піано, які можна інтерпретувати як створення часових меж, що не піддаються обчисленню, такі як послідовність Goodstein або this Парис - Гаррінгтон

— взн
джерело

5

не відповідь на запитання.

— Каве