Яка найпростіша неперервна 2-штатна універсальна машина Тьюрінга?

Я хочу закодувати просту машину Тюрінга в правилах карткової гри. Я хотів би зробити його універсальною машиною Тьюрінга, щоб довести повноту Тьюрінга.

Поки що я створив ігровий стан, який кодує двошарову, 3-символьну машину Тюрінга Алекса Сміта . Однак, схоже, (вірно базується на Вікіпедії), існує певна суперечка щодо того, чи справді машина (2, 3) є універсальною.

Заради rigour, я хотів би, щоб моє доказ містив "неперервну" UTM. Тому мої запитання:

1. Чи вважається (2,3) машина універсальною, неуніверсальною чи суперечливою? Я не знаю, де було б поважне місце шукати, щоб знайти відповідь на це.

2. Якщо машина (2,3) не є загальноприйнятою як універсальна, то який найменший N такий, що (2, N) машина беззаперечно приймається як універсальний?

Відредаговано, щоб додати: Було б також корисно знати будь-які вимоги щодо нескінченної стрічки для згаданих машин, якщо ви випадково їх знаєте. Здається, що для машини (2,3) потрібен початковий стан стрічки, який не є періодичним, який буде складно моделювати в рамках правил карткової гри.

З часу роботи, цитованої в попередніх відповідях, з’явилися нові результати. Це опитування описує сучасний стан (див. Малюнок 1). Розмір найменшої відомої універсальної машини Тьюрінга залежить від деталей моделі, і ось два результати, що мають відношення до даної дискусії:

• Є 2-штатна, 18-символьна стандартна універсальна машина (Рогожин 1996. ТКС, 168 (2): 215–240). Тут ми маємо звичайне поняття порожнього символу в одному або обох напрямках однієї стрічки.
• $r$$l$

Здається, що (2,18) є для вас найбільш корисним.

$M$$w$$t$$M$$w$$t$

На малюнку показані найменші відомі універсальні машини для різноманітних моделей машин Тьюрінга (взяті з Neary, Woods SOFSEM 2012), посилання можна знайти тут .

Це не реальна відповідь на ваше запитання (я не знаю багато про машинну дискусію (2,3)); але я пропоную вам статтю " Малі машини Тюрінга та генералізована конкуренція на бобрах ". Я швидко прочитав це деякий час тому, і він має гарний графік з межею між 4 типами маленьких ТМ:

• рішуче
• відкрита проблема, схожа на Колац
• $3x + 1$
• універсальний

(можливо, деякі результати були покращені).

Поняття ТМ, що використовується в роботі, є стандартним визначенням ТМ, що використовується в роботах на невеликих універсальних машинах Тьюрінга:

... Вони мають унікальну одновимірну нескінченну стрічку в обох напрямках і унікальну двосторонню голову для читання-запису. Існує порожній символ, позначений числом 0. Спочатку кінцеве слово, вхід, записується на стрічку, інші клітини містять порожній символ, голова зчитує крайній лівий символ введення, а стан - початковий стан. На кожному кроці, відповідно до поточного стану машини та символу, прочитаного головою, символ змінюється, голова рухається вліво або вправо (і не може залишатись читати ту саму клітинку), і стан змінюється. Обчислення зупиняється, коли досягається особливий стан зупинки. ...

Також можна досягти універсальності за допомогою 7 станів та 2 символів, хоча застосовується багато однакових заперечень (нерівномірні початкові умови на нескінченній стрічці та незвичні умови припинення). Дивіться http://11011110.livejournal.com/104656.html та http://www.complex-systems.com/abstracts/v15_i01_a01.html

Вони засновані на моделюванні стільникового автомата правила 110, доведеного універсальним Меттью Куком, і Кук також виявив 2-станційне 5-символьне моделювання правила 110, якщо ви приєдналися до обмеження, що існує лише два стани.

$S$$0\leq s < S$$C$$0\leq c< C$$2$$\text{L}$$\text{R}$$C+4SC$

У будь-який час лише поточна комірка або дві клітини, що беруть участь у переході, можуть мати покращені кольори: всі інші клітини мають своє справжнє забарвлення. Ми хочемо, щоб наша машина поводилася так: перевіримо, який справжній перехід потрібно виконати, перемістіть інформацію про "справжній стан" з комірки, яку ми хочемо залишити до цільової комірки (для цього потрібно багато назад і вперед), очистіть клітинку, яку ми залишили (надаючи їй справжній колір), повторіть.

$(c,s)$$\text{L}$$\text{R}$$(c_{\text{new}}, s_{\text{new}}, \text{emit})$$\text{L}$

$c$$\text{L}$$c$$(c,0, \text{L},\text{receive})$$\text{R}$

Ось переходи для його здійснення. Майже у всіх випадках рухайтесь у напрямку, визначеному поточним станом, потім переверніть стан

1. $c \to (c,0,\langle dir\rangle,\text{receive})$$\langle dir\rangle$

2. $(c,s) \to (c_{\text{new}},s_{\text{new}},\text{emit})$

3. $(c,s,\text{emit}) \to (c,s-1,\text{emit})$$s>0$

4. $(c,0,\text{emit}) \to c$

5. $(c,s, \langle dir\rangle, \text{receive}) \to (c, s+1, \langle dir\rangle, \text{receive})$$\langle dir\rangle$

6. $(c,s, \langle dir\rangle, \text{receive}) \to (c,s)$$\langle dir\rangle$

$C+3SC$

якщо ви ретельно не визначите "неперервний" якимсь технічним способом, це не точна відповідь. ось ще одна маленька машина, заснована на правилі 110, виявилася універсальною в певному сенсі, але я розумію, що вона вимагає нескінченних періодичних формувань стрічки введення (і так само видобуток наприкінці, коли машина зупиняється). не бачив випуску стрічки "періодичне проти неперіодичного", описаного в літературі, хоча його обговорювали, наприклад, у списках розсилки з математики [Основи списку розсилки з математики]

Підтвердження універсальності Алекса Сміта Тюрінгової 2-штатної, 3-символьної машини Тюрінга, безумовно, не є суперечливою. Наведений доказ універсальності (не машина) вимагає нескінченного малюнка на стрічці Тюрінга, і питання полягав у тому, чи варто допускати такі конфігурації (про звичайну «порожню» стрічку можна думати як про безмежний повторюваний візерунок порожніх символів). Висновок полягав у тому, що доки фіксується конфігурація на машинній стрічці (тобто вона не змінюється після запуску обчислення, і залишається однаковою для будь-яких обчислень), то універсальні обчислення здійснює машина Тьюрінга. Зверніть увагу, що це правило НЕ суперечливо для правила Елементарного стільникового автомата Вольфрама 110, що Вольфрам і Кук довели універсальність. Доказ універсальності правила 110 також вимагає нескінченної схеми для початкової конфігурації, тієї, яка відрізняється з обох сторін, і тому вона має однаковий характер для 2-штатної, 3-символьної машини Тьюрінга. Інша стурбованість полягала в тому, що, можливо, таке послаблення початкової умови (порожня) вимога зробить деякі загальноприйняті нетургінські універсальні автомати, такі як кінцеві стану, лінійно обмежені або відсунуті автомати, щоб згадати деякі приклади, але це не так і це поважає ієрархію Хомського. Так що, безумовно, не є суперечливим, чи є 2-штатна, 3-символьна машина Тьюрінга універсальною, але її доказ універсальності вимагав варіації того, що зазвичай вважається вмістом звичайної стрічки машини Тьюрінга. Це не означає, до речі, що 2-стан,