Ширина і упаковка

9

Моє запитання трохи неясне. Мені було цікаво, чи (і як) ми можемо застосувати поняття тривалості до проблем упаковки у графіки.

Я був би задоволений будь-якими розуміннями або посиланнями минулих дослідницьких робіт з цього приводу (якщо припустити, що це певне відношення). Дякую.

— Ніхіл
джерело

11

Я можу тлумачити це питання двома різними способами:

1) Що стосується алгоритмічних властивостей задач упаковки на графіках обмеженої ширини, теорема Курсорле показує, що для кожного фіксованого ми можемо оптимально вирішити задачі, виражені в логіці Monadic другого порядку в лінійному часі на графіках широкої ширини не більше (див. Приклад http://dx.doi.org/10.1093/comjnl/bxm037 $k$ $k$ для опитування алгоритмічних властивостей графіків з обмеженою шириною). Оскільки багато проблем із упаковкою можна сформулювати в MSOL, це доводить простежуваність багатьох таких проблем на графіках обмеженої ширини, включаючи незалежний набір, трикутну упаковку, циклічну упаковку, упаковку вершин / крайових роз'єднаних копій будь-якого фіксованого графіка, упаковку мізерних моделей, що не відповідають вершині деякого фіксованого графіка Н тощо. Але оскільки ця простежуваність поширюється на всі проблеми, визначені MSOL, вона не характерна для упаковки.

2) Що стосується графічно-структурних взаємозв'язків між упаковками та широкою шириною, то наступне може бути цікавим. Завдяки роботі Робертсона та Сеймура відомо, що існує функція така, що кожен графік широкої ширини не менше містить сітку як другорядний (оригінальний обмеження для надане Сеймуром та Робертсоном, було згодом покращено у співпраці з Томасом; див. http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0095895684710732 для найкращої межі в даний час). Отже, якщо у вас структура така, що багато копій можна упакувати в $f \colon \mathbb{N} \to \mathbb{N}$ $f(r)$ $r \times r$ $f$ $S$ $S$ $r \times r$ Сітка другорядний, то ви знаєте , що будь-який граф великий деревної ширини містить велику упаковку копія . Наприклад, оскільки сітка (для парного ) містить цикли вершин-роз'єднання, то випливає, що графік ширини ширини містить щонайменше неперервний цикли. $S$ $r \times r$ $r$ $(r/2)^2$ $f(r)$ $(r/2)^2$

— Барт Янсен
джерело

Барт, можливо, це не має значення, але чи бачите ви якесь відношення між реконструкцією графіка та їх шириною дерева? Також у вас є посилання на безкоштовну версію вашої професорської роботи? (Комбінаторна оптимізація на графіках обмеженої ширини шини)

— Саїд

Папір із широкою шириною доступний на веб-сайті Citeseer citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/summary?doi=10.1.1.107.2561 . Що стосується реконструкції графіка: ви маєте на увазі процес, при якому, з огляду на множину всіх підграфів, отриманих шляхом видалення однієї вершини, ви хочете відновити початковий графік? Здається, нещодавно Шива Кінталі розглядав питання про те, чи справжня гіпотеза реконструкції графа стосується ширини 2: cstheory.stackexchange.com/questions/5155/… .

— Барт Янсен

Дякую Барт, так, я бачу питання Шиви, але, це було рік тому, можливо, будь-який новий результат, дякую всім.

— Саїд

На веб-сайті Шиви перелічено два рукописи на тему: "Про реконструкцію k-дерев і дерев звичайних графіків" та "Нові реконструювані властивості графіка" з приміткою "скоро йде PDF" ( cs.princeton.edu/~kintali/#proprecon ). Ви можете зв’язатися безпосередньо з ним, щоб запитати про сучасний стан мистецтва.

— Барт Янсен

Після цієї відповіді найкраща межа для широкої ширини, необхідної для забезпечення рівня

r \times r

$r \times r$ сітка мінор була вдосконалена Каварабаяші та Кобаяші до

2^{O (r^{2} \log r)}

$2^{O(r^2\log r)}$ в dx.doi.org/10.4230/LIPIcs.STACS.2012.278 , і Сеймур заявив про поліпшення

2^{O (r \log r)}

$2^{O(r \log r)}$ у серпні 2012.

— Андраш Саламон

7

Максимальна проблема незалежного набору - це проблема з упаковкою (ви можете вважати це упаковкою суміжних зірок), і вона має добре відомий алгоритм із часом роботи $2^k \operatorname{poly(n)}$ у графіках з максимальною шириною $k$ .

— Янна Х. Корхонен
джерело

Дякую Джанне за вашу відповідь. Мені відомо алгоритм MIS. Окрім MIS, чи застосовувалося поняття про ширину для упаковки інших конструкцій? Крім того, я не зовсім впевнений, що вважаю МІС як упаковку непересічних зірок, чи не могли б ви пояснити свою думку щодо цього? (яку структуру зірок ви намагаєтесь упакувати, що таке поняття "непересічні зірки")?

— Нікхіл

1

Це не так просто, як я думав, публікуючи відповідь. "Упакування зірок, що не суперечать краю" було б більш доречним, і тоді вам потрібно буде вимагати, щоб будь-яка розміщена зірка мала якомога більше ступеня. Я не пам’ятаю, щоб бачити широку ширину, застосовану до будь-яких складніших проблем із упаковкою.

— Janne H. Korhonen

1

Максимальний незалежний набір, безумовно, "проблема упаковки" у звичайній термінології; Інший приклад проблеми з упаковкою - максимальна відповідність. (Вони пакують цілі програми; розслаблення LP - це пакування LP.)

— Jukka Suomela

6

Чудова посилання на цю тему - опитування Брюса Ріда нижче.

Рід, Б. (1997). Ширина дерева та каламути: нова міра підключення та деякі програми. Опитування з комбінаторики, 241, 87-162.

Один з моїх останніх робіт дозволяє обходити незначну теорему в деяких випадках за допомогою теорем про декомпозицію ширини. Дивіться папір нижче.

Розкладка та додатки для графіків великої ширини ширини http://arxiv.org/abs/1304.1577

— Чандра Чекурі
джерело

5

Це теж невиразна відповідь. Існує подвійність, подібна до теореми Ердоса-Пози для графіків обмеженої ширини. Див., Наприклад, Федір В. Фомін, Сакет Саураб, Дімітріос М. Тілікос: Зміцнення властивості Ердос-Поса для другорядних закритих графіків. Журнал теорії графіків 66 (3): 235-240 (2011)

— R2-D2
джерело