Короткі проблеми в

Дослідження стислого представлення графіків було ініційоване Гальперіном та Вігдерсоном у статті з 1983 року, де вони доводять, що для багатьох простих задач, таких як пошук трикутника у графі, відповідна лаконічна версія в -комплектній. Пападімітріу та Янаккакіс продовжують цей напрямок досліджень і доводять, що для проблеми яка є -комплектна / -повна, відповідна версія Сукцинкт, а саме Succinct , відповідно, -комплект і -комплект. (Вони також показують, що якщо є$\mathsf{NP}$N P P Π N E X P E X P Π N $\Pi$$\mathsf{NP}$$\mathsf{P}$$\Pi$$\mathsf{NEXP}$$\mathsf{EXP}$$\Pi$$\mathsf{NL}$ -комплектований, тоді СуспільнийP S P A C $\Pi$ є -комплект.$\mathsf{PSPACE}$

Тепер моє запитання: чи існують проблеми для яких відповідна версія Succinct є у ? Мені було б цікаво дізнатися про будь-які інші пов'язані результати (як позитивні, так і неможливі результати, якщо такі є), які я, можливо, пропустив вище. (Я не зміг знайти нічого цікавого в пошуку Google, оскільки такі слова пошуку, як стислість, представлення, проблеми, графіки призводять до практично будь-якого результату складності! :))$\Pi$$\mathsf{P}$

Ось цікава проблема, стисла версія якої має цікаві властивості. Визначити Circuit-розмірно , щоб бути проблемою: задано булева функцію як 2 п бітової рядки, робить цю функції є схема розміру не більше 2 л / 2 ? Зауважте, ця проблема є в $2^{n/2}$$2^n$$2^{n/2}$ .$NP$

Одним із способів визначити величину Succinct-Circuit-Size- було б: для постійної k , заданої n- вхідної, n k -розмірної схеми C , ми хочемо знати, чи її таблиця істинності є екземпляром розміру ланцюга - 2 п / 2 . Але це тривіальна проблема: всі входи, які є фактичними схемами, є екземплярами "так". Тож ця проблема є в $2^{n/2}$$k$$n$$n^k$$C$$2^{n/2}$$P$ .

Більш загальним способом визначення Succinct-Circuit-Size- було б: нам задають довільну схему C і хочемо знати, чи кодує її таблиця істинності екземпляр Circuit-Size- 2 n / 2 . Але якщо n - кількість входів до C , m - розмір C , а m ≤ 2 n / 2 , ми можемо автоматично прийняти: сам вхід є свідком мови. Інакше у нас m ≥ 2 n / 2 вже величезна, тому ми можемо спробувати все можливе$2^{n/2}$$C$$2^{n/2}$$n$$C$$m$$C$$m \leq 2^{n/2}$$m \geq 2^{n/2}$ . У цьому випадку довжина вводу $m$ завдання за m O ( 1 ) час, отримати таблицю істинності функції, і тепер ми знову повернемося до початковоїзадачі N P. Такце проблема в N P , чиї стислій версія також в N P .$2^n$$m^{O(1)}$$NP$$NP$$NP$

Ця проблема , як вважають, НЕ -Жорсткий; дивіться статтю Кабанця та Кая (http://www.cs.sfu.ca/~kabanets/Research/circuit.html)$NP$

Зважаючи на те, що навіть вирішуючи, чи містить графік, представлений поданим стислим поданням, принаймні один край чи ні, еквівалентний схемі SAT і, отже, NP-повний, спокусливо стверджувати, що будь-яке цікаве властивість стислого представлення повинно бути важким для NP відповідне визначення поняття "цікаве". Ця твердження буде теоретично складним теоретичним аналогом для теореми Райса . На жаль, пошук найбільш загального теоретично складного теоретичного аналога теореми Райса є відкритою проблемою , хоча є результати, які дають деякі форми таких складних теоретичних аналогів.

Я не мав на увазі, що це відповідь, але це вимагатиме занадто багато коментарів. Сподіваюся, що це корисно.

Як зазначає Цуйосі, привабливо припустити, що всі "нетривіальні" властивості важкі (наприклад, NP-жорсткі). Однак, щоб показати це, потрібно визначити нетривіальне. У теоремі Райса нетривіальними властивостями є всі властивості, крім властивості, яка включає всі перелічувані мови та властивість, яка не містить мови, що обчислюється. Менш зрозуміло, що правильне визначення нетривіального для стислих проблем. Однозначно властивості, які містять усі рядки або не мають рядків, є у P. Але є й інші в P. Наприклад, властивість що відповідає рядкам, середній біт яких дорівнює 0. Або Π містить усі рядки 2 n біт, такі що кожні 2 n /$\Pi$$\Pi$$2^n$$2^n/x$-біт дорівнює 1, де $x = n^{O(1)}$ . Тож як ми визначимо "тривіальне", щоб охопити цей тип властивостей?

Одна ідея полягає в тому, щоб подивитися на які є "симетричними": якщо рядок s знаходиться в Π , то будь-яка перестановка бітів s також у Π . Такі властивості залежать лише від кількості 1 біта в рядку. У відповіді на питання, з яким пов'язується Цуйосі, Райан Вільямс дає посилання на цей документ$\Pi$$s$$\Pi$$s$$\Pi$ якому видно, що всі подібні проблеми є важкими.

Інші ідеї, як визначити "нетривіальну властивість"? Ми можемо розглядати як сімейство булевих функцій (індикаторні функції властивості для кожної довжини рядка). Мені здається, що нетривіальні властивості - це ті, для яких відповідне сімейство булевих функцій має нетривіальну складність. Наприклад, чи можемо ми показати, що властивості, асоційована сім'я булевих функцій яких має складність лінійного дерева рішень, важкі?$\Pi$