Алгоритмічна векторна проблема

У мене є алгебраїчна проблема, пов'язана з векторами в області GF (2). Нехай будуть (0,1) - вектори розмірності , . Знайдіть алгоритм багаточленного часу, який знаходить (0,1) -вектор того ж виміру, що не є сумою жодних векторів серед $v_1, v_2, \ldots, v_m$ $n$ $m=n^{O(1)}$ $u$ $u$ $(\log n)^{O(1)}$ . Додавання векторів над полем GF (2), яке має два елементи 0 і 1 ( , і ). $v_1,v_2, \ldots, v_m$ $0+1=0+1=1$ $0+0=1+1=0$

Легко побачити існування такого вектора u простим аргументом підрахунку. Можемо чи ми знайти в поліноміальний час? Тривіально знайти в експоненціальному часі. Я надішлю чек на $ 200 за перше правильне рішення. $u$ $u$

ds.algorithms linear-algebra

— Бін Фу
джерело

видається розпливчасто пов'язаним із проблемою суми підмножини, яка є NP завершеною. однак використовує повну цілу суму замість XOR.

— vzn

як не дивно, я останнім часом намагаюся сформулювати та подивитися на подібну проблему. спробуйте розділ 13,5 книги Stasys jukna про складність булевої функції. схоже, що ваш q можна сформулювати з точки зору лінійних схем у цій главі.

— vzn

як щодо суперполігоритмів, тобто m ^ log (n)?

— Димитріс

@Niel de Beaudrap: але кількість XOR, які ви повинні перевірити, є суперполі (тобто приблизно ), а не poly. Хіба це не проблема?

(\binom{m}{\log (n)})

${{m}\choose{\log(n)}}$

— Димитріс

На закінчення зауваження vzn: здавалося б, що майже будь-який вектор задовольняє ваші вимоги, тим самим аргументом підрахунку. Я гадаю, що ви також хотіли б довести, що (можливо, генерований випадковим чином) вектор не міститься в жодному підпросторі, охопленому полілогом ( n ) векторів: тому ваше запитання рівнозначне тому, що проблема визначення того, є кандидатом чи ні вектор u не належить до підпростори, породженої деяким виміром f ( n ) ∈ polylog ( n ) векторів знаходиться в NP .

v_{j}

$\mathbf v_j$

— Ніль де Бодорап

Здається, помилка друку; Я припускаю, що ви маєте на увазі знайти що не є сумою векторів серед (не ). $u \in \{0,1\}^n$ $(\log n)^{O(1)}$ $v_1,\dots, v_m$ $n$

Мені не зрозуміло, чи працює яка-небудь константа в . Якщо ви можете погодитися на суми, менші ніж vectors, можливо, щось потрібно зробити. Але якщо ви хочете, щоб ця кількість була , я вважаю, що це досить важко (я над цим питанням працюю вже давно). $(\log n)^{O(1)}$ $\log m$ $(\log m)^{1+\delta}$

Все ж вам може бути цікаво знати, що це примірник віддаленої задачі точки Алона, Паніграги та Єханіна ("Алгоритми детермінованого наближення для найближчої задачі кодового слова") для певних параметрів. Нехай і - стовпці матриці перевірки парності лінійного коду в розмірності (якщо ця матриця не мала повного рангу , проблема була б тривіальною). Тоді ваша проблема еквівалентна пошуку що є -далі від коду. Цей параметр параметрів, де розмірність дуже близька до m, у статті не вивчається. Однак вони можуть досягти лише віддаленості $m > n$ $v_1,\dots,v_m$ $\{0,1\}^m$ $d = m - n$ $u \in \{0,1\}^n$ $(\log n)^{O(1)}$ $\log m$ до розмірності для деякої постійної . Насправді, я не думаю, що ми знаємо жодного сертифіката розміру полінома, який дозволяє нам довести, що деякий вектор більше -від простору виміру , не кажучи вже про те, щоб знайти це. $d = cm$ $c$ $\omega(\log m)$ $\Omega(m)$

Інший зв'язок - з навчанням паритетів у моделі, пов'язаній з помилками. Якщо можна ефективно вивчити -паритети (визначені на ) з помилкою, пов'язаною строго менше , тоді можна встановити довільні значення першому біти та `` примусити помилку '' на останньому біті, встановивши його на протилежне значення, ніж передбачив учень. Це здається набагато сильнішим. $(\log n)^{O(1)}$ ${0,1}^m$ $n$ $n - 1$ $u$

Проблема також пов'язана з відокремленням EXP від певних скорочень до розріджених наборів.

— Девід
джерело

Дякуємо, що вказали на друкарські помилки. Останнім v_n має бути "v_m". Сподіваюся, хтось це виправить. Ваша відповідь містить корисну інформацію. +1

— Бін Фу