3-клічний розділ для графіків фіксованого діаметра

Проблема 3-Clique Partition - це проблема визначення, чи можна вершини графа, скажімо , розділити на 3 кліки. Ця проблема є важкою для NP шляхом простого скорочення від 3-х кольорових проблем. Не важко зрозуміти, що відповісти на цю проблему легко, коли або . Проблема залишається NP-жорсткою, коли простим скороченням від себе (задавши графік , додайте вершину і з'єднайте її з усіма іншими вершинами). $G$ $\textrm{diam}(G) = 1$ $\textrm{diam}(G) > 5$ $\textrm{diam}(G) = 2$ $G$

Яка складність цієї задачі для графіків з для ? $\textrm{diam}(G) = p$ $3\le p \le 5$

— Бабак Бехсаз
джерело

Проблема , здається, в . $P$

Візьміть дві вершини , з відстані рівно 3 (така пара повинна існувати, коли ). Вони повинні мати різні кольори (я позначатиму R, G, B для позначення 3 кольорів, а вершини в тій же кліці кольорові одного кольору) Припустимо, що кольором червоний, а кольором зеленим. $u$ $v$ $p\ge 3$ $u$ $v$

$\Gamma(u)$ $u$ $\Gamma(v)$ $V-\Gamma(u)-\Gamma(v)$ $u$ $v$ $u$ $v$ $v$ повинні бути кольоровими або зеленими, або синіми. Кожна вершина тепер має максимум два варіанти, тому проблема стає екземпляром 2-SAT, який ми можемо вирішити в поліноміальний час.

— Ронг Ге
джерело

чи можете ви описати відповідні 2-SAT рецептури?

— user5153

B (v)

$B(v)$

v

$v$

u

$u$

v

$v$

(B (v) \lor B (u))

$(B(v) \vee B(u))$

(\bar{B (v)} \lor \bar{B (u)})

$(\bar{B(v)} \vee \bar{B(u)})$

— Бабак Бехсаз