Твердість обчислення етикетки Weisfeiler-Lehman

1-тьмяний алгоритм Вейсфейлер-Леман (WL) широко відомий як канонічна маркування або алгоритм , кольору уточнення. Він працює наступним чином:

• Початкове забарвлення є рівномірним, C 0 ( v ) = 1 для всіх вершин v ∈ V ( G ) ∪ V ( H ) .$C_0$$C_0(v) = 1$$v \in V (G) \cup V (H)$
• У першому кольорі колір C i + 1 ( v ) визначається як пара, що складається з попереднього кольору C i - 1 ( v ) та безлічі кольорів C i - 1 ( u ) для всі u, що примикають до v . Наприклад, C 1 ( v ) = C 1 ( w ) iff v і $(i + 1)$$C_{i+1}(v)$$C_{i−1}(v)$$C_{i−1}(u)$$u$$v$$C_1(v) = C_1(w)$$v$$w$ мають однаковий ступінь.
• Щоб кольорове кодування було коротким, після кожного раунду кольори перейменовують.

Враховуючи два ненаправлені графіки і H , якщо багатонабір кольорів (він же міток) вершин G відрізняється від безлічі кольорів вершин H , алгоритм повідомляє, що графіки не є ізоморфними; в іншому випадку він оголошує їх ізоморфними.$G$$H$$G$$H$

Добре відомо, що 1-тьмяний WL працює правильно для всіх дерев і вимагає лише раундів.$O({\log}n)$

Моє запитання:

Яка твердість обчислення 1-тьмяних WL міток дерева? Чи відома нижня межа краще, ніж журнальний простір?

Проблема вирішення питання про те, чи мають два графіки еквівалентні маркування, а отже, і проблема обчислення канонічного маркування є завершеною PTIME. Побачити

М. Грое, Еквівалентність у скінченно змінних логіках є повною для поліноміального часу. Combinatorica 19: 507-532, 1999. (версія конференції у FOCS'96.)

Зауважимо, що еквівалентність уточнення кольорів відповідає еквівалентності в логіці C ^ 2.

-Мартин