Характеристика задач, для яких існують підлінійні алгоритми часу

Мені було цікаво, чи можуть проблеми, для яких існують алгоритми підлінійного часу (у розмірі введення), характеризуватись такими, що володіють певними властивостями. Сюди входить підлінійний час (наприклад, тестування властивостей, альтернативне поняття наближення до проблем з рішенням), підлінійний простір (наприклад, алгоритми ескізів / потокових передач, в яких машина Тьюрінга має стрічку для читання, підлінійний робочий простір та вихід лише для запису стрічки) та підлінійні вимірювання (наприклад, розріджене відновлення / стискання). Зокрема, мене цікавить така характеристика як в рамках алгоритмів тестування властивостей, так і в класичній моделі рандомізованих та алгоритмів апроксимації.

Наприклад, проблеми, для яких існує динамічне програмування, демонструють оптимальну підструктуру та перекриваються підпрограми; ті, для яких існує жадібне рішення, демонструють оптимальну підструктуру та структуру матроїда. І так далі. Будь-яка довідка, що займається цією темою, вітається.

За винятком кількох проблем, які допускають детермінований сублінійний алгоритм, майже всі підлінійні алгоритми, які я бачив, рандомізовані. Чи існує якийсь специфічний клас складності, пов'язаний з проблемами допуску алгоритмів підлінійного часу? Якщо так, чи входить цей клас у BPP чи PCP?

Для завдання постійного часу тестування властивостей графіка відома цікава характеристика. Властивість графа є функцією від всіх графів , і графік , властивість Р є підприємством, що перевіряється , якщо є рандомізований алгоритм , що для всіх х > 0 і всіх графів G :$\{0,1\}$$P$$A$$\varepsilon > 0$$G$

• зчитує лише g ( ε ) ребра G для деякої функції$A(G)$$g(\varepsilon)$$G$$g$
• Якщо , то A ( G ) виходи `` Так '' з високою ступенем ймовірності (скажімо, по крайней мере , 2 / 3 )$P(G)=1$$A(G)$$2/3$
• Якщо принаймні ребра G потрібно додати або видалити, щоб отримати G ′ такий, що P ( G ′ ) = 1 (тобто G є ε -далеко від властивості ), то A ( G ) виводить `` немає «» з ймовірністю по крайней мере , 2 /$\varepsilon n^2$$G$$G'$$P(G')=1$$G$$\varepsilon$$A(G)$$2/3$

Тобто, може розрізняти між графіками , які мають Р і графіки , які мають високу редагувати відстань від графів , що мають P . Алон, Фішер, Ньюмен та Шапіра довели, що властивість P перевіряється таким чином лише тоді, коли властивість можна "зменшити" до властивості перевірки, чи має графік ε -регулярний розділ (у значенні Szemeredi) . Це свідчить про те, що регулярність тестування в деякому сенсі "повна" для тестування. (Є також одностороння помилка версії доказів, див. Посилання.)$A$$P$$P$$P$$\varepsilon$

У царині підлінійного простору немає явного класу задач, які допускають рішення підлінійного простору, але є великі класи задач (оцінка моменту частоти, зменшення розмірності тощо), де може бути показано існування невеликого "ескізу", і це призводить до ефективних алгоритмів.

Але і в цьому просторі алгоритми всі рандомізовані, і існують сильні детерміновані нижні межі, в основному засновані на складності зв'язку.