Яка різниця між ADT, GADT та індуктивними типами?

Може хтось зможе пояснити різницю між:

Алгебраїчні типи даних (з якими я досить добре знайомий)
Узагальнені типи алгебраїчних даних (що робить їх узагальненими?)
Індуктивні типи (наприклад, Coq)

(Особливо спонукальні типи.) Дякую.

Відповіді:

Алгебраїчні типи даних дозволяють визначати типи рекурсивно. Конкретно, припустимо, у нас є тип даних

d a t a l i s t = N i l | C o n s o f N \times l i s t

$\mathsf{data\;list = Nil \;\;|\;\; Cons\;of\;\mathbb{N} \times list}$

Це означає, що - найменший набір, що генерується операторами і . Ми можемо це формалізувати, визначивши оператор $\mathsf{list}$ $\mathsf{Nil}$ $\mathsf{Cons}$ $F(X)$

F (X) == {N i l} \cup {C o n s (n, x) | n \in N \land x \in X}

$F(X) == \{ \mathsf{Nil} \} \cup \{ \mathsf{Cons}(n, x) \;|\; n \in \mathbb{N} \land x \in X \}$

а потім визначення як $\mathsf{list}$

l i s t = ⋃_{i \in N} F^{i} (\emptyset)

$\mathsf{list} = \bigcup_{i \in \mathbb{N}} F^i(\emptyset)$

Узагальнено ADT є те , що ми отримуємо , коли визначити тип оператора рекурсивно. Наприклад, ми можемо визначити такий конструктор типу:

b u s h a = L e a f o f a | N e s t o f b u s h (a \times a)

$\mathsf{bush}\;a = \mathsf{Leaf\;of\;}a \;\;|\;\; \mathsf{Nest\;of\;bush}(a \times a)$

Цей тип означає, що елемент є кортежем з довжиною для деякого , таккожен разми в конструктора типу аргументпарі з самим собою. Таким чином, ми можемо визначити оператора, якого ми хочемо прийняти за фіксовану точку як: $\mathsf{bush\;}a$ $a$ $2^n$ $n$ $\mathsf{Nest}$

F (R) = λ X . {L e a f (x) | x \in X} \cup {N e s t (v) | v \in R (X)}

$F(R) = \lambda X.\; \{ \mathsf{Leaf}(x) \;|\; x \in X\} \cup \{ \mathsf{Nest}(v) \;|\; v \in R(X) \}$

Індуктивний тип у Coq, по суті, є GADT, де індекси оператора типу не обмежуються іншими типами (як, наприклад, у Haskell), але можуть також індексуватися значеннями теорії типів. Це дозволяє надати типи для списків, що індексуються за довжиною тощо.

— Ніл Кришнасвамі
джерело

Дякую. Чи це не означало б, однак, що "індуктивний тип", повністю синонім "залежному типу"?

— ninjagecko

@Neel: Я ніколи не бачив типів, таких як bushGADT. Я бачив, як вони називаються вкладеними або нерегулярними типами.

— jbapple

Вкладені типи - це особливий випадок GADT. Критична особливість GADT полягає в тому, що він є рекурсивним визначенням на вищому рівні. (Зміни в резус - це в основному синтаксичний цукор для додавання рівності типу як складової конструктора.)

— Neel Krishnaswami

@ninjagecko: "Індуктивні типи" - це типи, задані семантикою як найменше фіксовану точку конструктора. Не всі типи можна описати таким чином (функції не можуть, і не можуть нескінченні типи, такі як потоки). Залежні типи описують типи, які дозволяють умовам програми виникати в них (тобто типи можуть "залежати" від термінів). Оскільки Coq є теорією залежного типу, індуктивні типи, які вона дозволяє визначати, також залежать. Але теорії незалежних типів можуть також підтримувати індуктивні типи, і ці індуктивні типи не будуть залежними.

— Ніл Крішнасвамі

@NeelKrishnaswami: Чи будете ви настільки люб'язними, щоб уточнити свою відповідь, перерахувавши «перші кілька найменших» елементів типів bush a? У цьому прикладі це Nest Leaf(a) Leaf(a) Leaf(a) Leaf(a)чи Nest ((Nest Leaf(a) Leaf(a)) (Nest Leaf(a) Leaf(a)))як один із прикладів безлічі?

— ninjagecko

Розглянемо алгебраїчні типи даних, такі як:

data List a = Nil | Cons a (List a)

Типи повернення кожного конструктора в типі даних всі однакові: Nilі Consобидва повертаються List a. Якщо ми дозволимо конструкторам повертати різні типи, у нас є GADT :

data Empty -- this is an empty data declaration; Empty has no constructors
data NonEmpty

data NullableList a t where
    Vacant :: NullableList a Empty
    Occupied :: a -> NullableList a b -> NullableList a NonEmpty

Occupiedмає тип a -> NullableList a b -> NullableList a NonEmpty, а Consмає тип a -> List a -> List a. Важливо зазначити, що NonEmptyце тип, а не термін. Ще один приклад:

data Zero
data Succ n

data SizedList a t where
    Alone :: SizedList a Zero
    WithFriends :: a -> SizedList a n -> SizedList a (Succ n)

Індуктивні типи в мовах програмування, які мають залежні типи, дозволяють повернути типи конструкторів залежно від значень (а не лише типів) аргументів.

Inductive Parity := Even | Odd.

Definition flipParity (x:Parity) : Parity :=
  match x with
    | Even => Odd
    | Odd => Even
  end.

Fixpoint getParity (x:nat) : Parity :=
  match x with
    | 0 => Even
    | S n => flipParity (getParity n)
  end.

(*
A ParityNatList (Some P) is a list in which each member
is a natural number with parity P.
*)

Inductive ParityNatList : option Parity -> Type :=
  Nil : forall P, ParityNatList P
| Cons : forall (x:nat) (P:option Parity), 
  ParityNatList P -> ParityNatList 
  (match P, getParity x with
     | Some Even, Even => Some Even
     | Some Odd, Odd => Some Odd
     | _, _ => None
   end).

Побічна примітка: GHC має механізм розгляду конструкторів значень як конструкторів типів . Це не те саме, що залежні від індуктивних типів, які має Coq, але це дещо зменшує синтаксичний тягар GADT, і це може призвести до кращих повідомлень про помилки.

— jbapple
джерело

Дякую. "Індуктивні типи в мовах програмування, які мають залежні типи" Що б тоді виглядав індуктивний тип у мові, що не має залежних типів, і чи можна мати неіндуктивні (але схожі на GADT) типи?

— ninjagecko