Виявлення відношення цілих чисел для суми підмножини чи АЕС?

Чи існує спосіб кодування примірника суми підмножини або проблеми з розділенням чисел, щоб (мале) рішення цілого відношення дало відповідь? Якщо не точно, то в якомусь імовірнісному сенсі?

Я знаю, що LLL (і, можливо, PSLQ) використовувались з помірним успіхом у вирішенні завдань Subset Sum у регіоні "низької щільності", де вибраний діапазон чисел перевищує , але ці методи не відповідають масштабам екземпляри більшого розміру і потерпіти невдачу в «високої щільності» області, коли діапазон чисел , вибраних набагато менше , ніж . Тут низька і висока щільність відноситься до кількості розчинів. Область низької щільності відноситься до тих чи інших рішень, що існують або взагалі відсутні, тоді як висока щільність стосується області з багатьма рішеннями. $2^N$ $2^N$

У регіоні з високою щільністю LLL виявляє (малі) цілі відносини між наведеними екземплярами, але в міру збільшення розміру екземпляра ймовірність того, що знайдене співвідношення є життєздатним, вирішує проблему підмножини підсумків чи числових розділів.

Виявлення відношення цілих чисел є многочленом у межах експоненціальної межі оптимального, тоді як сума підмножини та АЕС, очевидно, є NP-завершеними, так що в цілому це, мабуть, неможливо, але якщо екземпляр намальовано рівномірно випадково, чи може це зробити простіше?

Або я навіть не буду задавати це питання, а натомість запитувати, чи існує спосіб зменшити експоненціальну межу від оптимальної відповіді замість експоненціального збільшення обчислень?

— user834
джерело

Я не отримував жодних відповідей, тому переписав на mathoverflow: mathoverflow.net/questions/38063/…

— user834

Це дуже цікаве запитання, я також чекаю відповідей. Ви в основному просите зменшити поліномальний час (можливо, випадкове) від суми підмножини або АЕС до цілого відношення. Як щодо цього, якщо

- ціль вашої задачі щодо сукупності підмножини, а

- сукупність додатних цілих чисел, а

- рішення, що задовольняє

. Це саме лінійна комбінація з реальними коефіцієнтами, що дорівнює 1. Якщо для кожного

вас є

t = 0

$t=0$

S

$S$

S^{'}

$S'$

0 = \sum_{a \in S^{'}} a

$0=\sum_{a\in S'} a$

a_{i} \in S

$a_i \in S$

завжди є рішення, і відношення відображення на ціле число також дасть вам рішення.

\sum_{i} a_{i} < 2^{n} - 1

$\sum_i a_i < 2^n-1$

— Маркос Віллагра

@Marcos Villagra: ваш коментар трохи важко проаналізувати ... можна вбудувати проблему як підмножину підрозділу з розділенням у решітку (див. Тут для огляду), питання полягає у пошуку способу обмеження коефіцієнтів до бажаний набір (0,1 або -1,1, скажімо). LLL знайде ціле відношення, навіть мале, але лише один 2 або 3 як коефіцієнт призведе до визнання недійсним як відповідь на підмножину / число розділу.

— user834

$m=O(\log n)$ $\Omega(2^{m})$ $m=\omega(\log n)$ $m=o(n)$

Однак Flaxman і Przydatek надають алгоритм, який вирішує задачі щодо суми підмножини середньої щільності в очікуваний час полінома.

Перевірте це посилання:

Флексман і Пшидатек, розв’язування задач суми підмножини середньої щільності в очікуваний поліномний час

— Мохаммед Аль-Туркстані
джерело

Цей результат лише для вибору чисел в екземплярі Subset Sum значно нижчих, ніж я хочу. Вони вибирають діапазон чисел у порядку log (n) ^ 2, тоді як мені цікаво діапазон чисел на порядок 2 ^ n. Існують добре відомі алгоритми вирішення Subset Sum, коли діапазон чисел обмежений настільки низьким, і схоже, що вони трохи розширили цей діапазон, що чудово, це просто не те, що я шукав. Дякую, хоча.

— user834