Що таке алгоритм пошуку мінімальної кришки вершин на двопартійному графіку із зваженими вершинами?

Я знаю, що для невзваженого двостороннього графа я можу знайти мінімальну кришку вершини, спочатку знайти максимальну відповідність і перетворити її у кришку вершин за допомогою теореми Кеніга. Чи є модифікація, яку можна використати, якщо вузли зважуються?

ds.algorithms graph-theory

— Андрій Федоров
джерело

Хоча рішення, дане Шивою Кінталі, вирішує вашу проблему, я хотів би лише додати коротке зауваження: теорема Кеніга - це все про кардинальність. Ви можете додати ваги, знаходячи максимальну біпариттову відповідність мінімальної вартості (для цього є алгоритми з вагами краю; натомість просто використовувати ваги вузлів), але ви все одно просто отримаєте мінімальну кришку мінімальної вартості - чого може бути не кришка вершини мінімальної вартості (тобто, яка може складатися з більшої кількості вузлів). Мінімальна вартість без обмежень щодо кардинальності / оптимізації буде просто порожньою (для позитивних ваг)…

— Magnus Lie Hetland

Проблема зваженої вершини покриття може бути сформульована як програма цілочислення (див. Http://en.wikipedia.org/wiki/Vertex_cover ). Коли графік вхідного сигналу двосторонній, матриця обмежень цього ІС є абсолютно одномодульною. Отже, ця ІР може бути вирішена в поліноміальний час.

Детальніше про загальні одномодульні матриці та відповідні алгоритми дивіться у чудовій ( тритомній ) книзі Олександра Шрівер .

— Шива Кінталі
джерело

Якщо бути більш точним, IP можна вирішити, просто вирішивши релаксацію LP. Більше того, можна помітити, що двійник LP є узагальненням відповідності (з ємностями, що відповідають вагам вершин у екземплярі вершини кришки) і може бути вирішений шляхом зменшення до максимального потоку звичайним способом.

— Чандра Чекурі

@ChandraChekuri peudo-код максимального скорочення потоку можна знайти на рисунку 4 в Поступовому обчисленні ресурсів-конвертів у моделях виробник-споживач

— xuhdev