Мінімальне завершення графіка непарного циклу: чи це NP-важко?

У моєму дослідженні нещодавно з’явилася така цікава проблема:

ІНСТАНЦІЯ: Графік . $G(V, E)$

РІШЕННЯ: Безкоректне завершення непарного циклу, визначене як надмножина крайового набору так, щоб завершений графік мав властивість, що кожне ребро в міститься в непарному циклі без акордів. $E'$ $E$ $G'(V, E')$ $G'$

ВИМІР: Розмір завершення, тобто. $|E' - E|$

Поки нам вдалося довести, що модифікована версія цієї проблеми є NP-повною, де замість того, щоб вимагати, щоб "кожне ребро в містилося в беззвучному циклі непарних ", нам потрібна більш сильна властивість, що" кожен край міститься у трикутнику (цикл довжиною 3) ". (Зверніть увагу, що це не еквівалентно проблемі МІНІМУЛЬНОГО ЗАКОНУВАННЯ ГОРФИ .) $G'$

Перший легко сприймається як узагальнення другого, але це далеко не всі мої зусилля, щоб довести це не вдалося. Чи може хто-небудь придумати вказівник / посилання / тощо.?

— Габор Ретвари
джерело

ця проблема здається сильно пов'язаною з ідеальними графіками, які є ідеальними, якщо є непарна (анти-) дірка (непарний непарний цикл принаймні довжиною 5) [докладніше на wikipedia]. тому пропонуємо, можливо, спробувати переформулювати питання з точки зору питання на ідеальні графіки.

— vzn

@vzn: Я не впевнений, що ця сильна теорема тут може допомогти.

— домоторп

Чи можемо ми визначитись у P, чи міститься кожен край G в непарному циклі? Я думаю, що це можливо, але я не бачу як.

— domotorp

Ну, у нас зараз дві проблеми. Легко у нас було б рішення в P, якби ми могли вирішити для кожного краю, чи не в беззвучному циклі. Я знайшов посилання , вказуючи, що питання "Чи містить графік індукований непарний цикл довжиною більше трьох, що проходить через встановлену вершину?" та "Чи містить графік індукований непарний шлях між двома встановленими вершинами?" є NP-завершеними, але вони не вирішують наш випадок повністю. Може виявитись, що початкова проблема не в NP, але все ще може бути важкою для NP.

— Габор Ретварі

Ви можете вказати, в якому розділі Вашого документу Ви визначаєте проблему вище і на що в документі Ви посилаєтесь на специфікацію. to ("модифікована версія перевірена NP завершена")

— vzn

Ми доводимо, що проблема є важкою для NP навіть у формі її рішення, тобто "" Чи є вхідний графік вже безконтрольним завершенням непарного циклу? "'Шляхом зменшення від наступної проблеми: $G$

Задача P : З огляду на графік та ребро , чи існує безкоординатний непарний цикл довжиною більше 3, що проходить через ? $G$ $e\in E(G)$ $e$

Ця проблема, як відомо, є важкою для NP завдяки скороченню від "виявлення беззвукових рівних циклів, що проходять через даний вузол" "у посиланні, наведеному в одному з ваших коментарів, який зазначено в абзаці перед розділом 3, дозволяючи і : $p=0$ $q=2$

Нехай і - довільні фіксовані цілі числа. Наступні проблеми є неповними: Чи містить графік індукований цикл через встановлену вершину , довжиною (mod )? ... $q>1$ $p\ge 0$ $G$ $u$ $p$ $q$

(Можливо, є скорочення Карпа, але якщо ми дозволимо Куку, врахуйте наступне зменшення: Заміни заданого вузла ступеня d на повний підграф розміром d з належними вихідними ребрами. Потім для кожного краю в повному графіку ми можемо запитувати оракул, який вирішує задачу P. Зауважте, що безбарвний цикл, що проходить через заданий вузол, відповідає беззвучному циклу непарної довжини, більший за 3, що проходить через один з ребер у повному графіку.)

Тепер про головне скорочення. З огляду на екземпляр задачі Р, спочатку виявляємо, чи є трикутники, що проходять через ; якщо так, видаліть кожен вузол, який утворює трикутник з . Зауважте, що видалення вузлів, що утворюють трикутник з , не усуне жодних непарних циклів, що проходять через (за властивістю без акордів). $e$ $e$ $e$ $e$

Далі для кожного краю крім додаємо допоміжний вузол та два ребра та . Зауважте, що новий графік має таку властивість: $f$ $e=(u,v)$ $v_f$ $(v_f,u)$ $(v_f,v)$ $G'$

має непарний цикл без акордів довжиною більше 3, що проходить через якщо і лише тоді, коли є безкоректним завершенням непарного циклу. $G$ $e$ $G'$

Для єдиного, якщо напрямок, це можна довести, розглядаючи різні типи ребер у . Кожне ребро, окрім (включаючи ті щойно додані ребра), матиме щонайменше один трикутник (той, що містить допоміжний вузол); і буде знаходитись у непарному циклі в оскільки через в проходить непарний цикл без акордів , і цикл не видаляється під час процесу видалення вузла. $G'$ $e$ $e$ $G′$ $e$ $G$

Що стосується напрямку if, оскільки кожне ребро, крім повинно бути принаймні в одному трикутнику, ми повинні турбуватися лише про край . Там є chordless непарного цикл , що проходить через в ( є chordless непарного завершення циклу). Цикл не може мати довжину 3 з побудови , і так як цикл не може містити будь-які допоміжні вузли (від chordless власності), він буде в графі , а також. Тому доказ закінчений. $e$ $e$ $e$ $G'$ $G'$ $G'$ $G$

— Сісен-Чі Чанг 張顯之
джерело

У мене виникають проблеми після будь-якого зі скорочень. У першому зменшенні, якщо даний вузол v має ступінь, скажімо, 5, то після зменшення він стає K_5, і цей K_5 містить цикл непарної довжини, але він не відповідає циклу парної довжини, що містить v. основне зменшення, припустимо, що G = (V, E), де V = {1,2,3,4,5}, E = {12,23,34,45,15,35} і e = 34. G має цикл довжиною 5, який проходить через e, але в G 'край 34 є містком і не належить до жодного непарного циклу, якщо я правильно розумію визначення вашої редукції.

— Цуйосі Іто

@Tsuyoshi: Я бачу вашу думку. У задачі P нам слід примусити цикл непарності бути беззвучним. Тому будь-який повний графік не містить циклів без непарної довжини, і для будь-якого циклу без акордів непарної довжини, що проходить через

, не існує трикутників, що проходять через

які також використовують ребра циклу. Я оновлю відповідь.

e

$e$

e

$e$

— Hsien-Chih Chang 張顯之

@ Hsien-ChihChang 張顯之: Що стосується другого пункту щодо основного скорочення, що якщо ми необережно "видалимо кожен вузол, який утворює трикутник з

", ми можемо в кінцевому підсумку видалити дійсні беззвучні цикли з

? І ще одне запитання: оригінальна посилання доводить NP-повноту для "виявлення беззвукових непарних циклів, що проходять через заданий вузол", але ви використовували форму "виявлення беззвукових парних циклів". Це випадок, коли ви мовчки довели для себе, що перше має на увазі друге (що здається досить правдоподібним)?

e

$e$

G^{'}

$G'$

— Габор Ретварі

@ Hsien-ChihChang 張顯之: у будь-якому разі: оскільки виграш скоро закінчується, і я буду подалі від свого комп’ютера, я нагороджую вас ціною зараз. Дуже дякую за вашу відповідь, це справді допомогло мені по-новому думати про проблему. Якщо ви зможете повернутися пізніше та виправити вищезазначені питання, я буду дуже вдячний.

— Габор Ретварі

@Gabor: Для питання 1 видалення вузлів, що утворюють трикутник з

, не видалить жодні беззвукові цикли, що проходять через

(за властивістю без акордів). Це може зруйнувати деякі інші безконтактні цикли, але оскільки нам потрібен лише

що має завершення непарного циклу непарного циклу, кожен край, окрім

(включаючи нові додані ребра), буде знаходитись принаймні у трикутнику (той, що містить допоміжний вузол ); і

буде в chordless непарного циклу в

тоді і тільки тоді є chordless непарне цикл , що проходить через

e

$e$

e

$e$

G^{'}

$G'$

G^{'}

$G'$

e

$e$

e

$e$

G^{'}

$G'$

e

$e$

G

$G$

— Hsien-Chih Chang 張顯之