Що відомо про розв’язки розрізнених цілих лінійних задач програмування?

Якщо у мене є набір лінійних обмежень, у яких кожне обмеження має максимум (скажімо) 4 змінних (всі негативні та з коефіцієнтами {0,1}, за винятком однієї змінної, яка може мати коефіцієнт -1), що відомо про рішення космос? Мене менше турбує ефективне рішення (хоча, будь ласка, вкажіть, якщо таке відоме), ніж знання того, наскільки малим може бути мінімум цільової функції, як функція від кількості змінних і кількості обмежень, а також кількості змінних на обмеження.

Конкретніше, програма щось подібне

мінімізувати t з
  урахуванням
всіх i, x_i - це додатне ціле число
x1 + x2 + x3 - t <0
x1 + x4 + x5 - t <0
...
x3 + x6 - t ≥ 0
x1 + x2 + x7 - t ≥ 0
...

Якщо потрібне конкретне запитання, то чи так, що мінімальний розв’язок підкоряється t <= O (max {# змінних, # обмежень}), з постійною в O () залежно від рідкості? Але навіть якщо відповідь "ні", мені більше цікаво дізнатись, який саме підручник чи папір вивчити для обговорення таких питань, і чи є сфера вивчення, присвячена цій речі, але я просто не знаю терміни для пошуку. Дякую.

Оновлення: З подальшим роздумом (і продумуючи досить просте скорочення 3SAT до ILP, що використовує обмеження з трьома змінними), я розумію, що питання коефіцієнтів є критичним (якщо буде ефективний алгоритм). Точніше, всі x_i змінні мають 0 або 1 коефіцієнти (максимум три 1 коефіцієнти в будь-якому одному обмеженні), а всі t змінні мають -1 коефіцієнт, і всі порівняння мають змінні зліва та 0 праворуч. Я оновив наведений приклад для уточнення.

Відповіді на це (принаймні, на конкретне питання про лінійне обмеження рішення) немає. Це частина наступного документу: http://arxiv.org/abs/1011.3493 . Теорема 5.1 була мотивацією до цього питання.

Контрприклад такий:

базовий випадок:

a_1 '+ b_1' - t ≥ 0
a_1 '' + b_1 '' - t ≥ 0
a_1 + b_1 '- t ≤ -1
a_1 '+ b_1' '- t ≤ -1

рекурсивний випадок:

a_n '+ b_n' + a_ {n-1} - t ≥ 0
a_n '' + b_n '' + a_ {n-1} - t ≥ 0
a_n + b_n '+ a_ {n-1}' '- t ≤ -1
a_n '+ b_n' + a_ {n-1} '' - t ≤ -1

разом з вимогою вимагати від них усіх невід’ємних.

Індукцією можна довести, що будь-яке реальне рішення повинно задовольняти a_n ''> = a_n + 2 ^ n. Ми змінюємо нерівності "<0" на "≤ -1", тому що будь-яке ціле рішення задовольняє "≤ -1" тоді і лише тоді, коли воно задовольняє "<0".

Отже, мораль полягає в тому, що n нерівностей цієї форми можуть мати властивість того, що всі цілі рішення мають принаймні одне ціле число, принаймні експоненціальне в n, безумовно, не лінійно обмежене, як ми спочатку підозрювали.

Якщо матриця коефіцієнтів абсолютно одномодульна , то ефективне рішення існує за допомогою звичайного лінійного програмування. Це стосується будь-яких ILP, а не лише рідких - хоча ви, швидше за все, зможете використовувати цю властивість для таких рідких ILP, як ваша.

Я підозрюю, що ви вже можете це знати, тому дозвольте спробувати і дати вам кращу відповідь. Перш ніж надто глибоко замислюватися над специфікою, відповідь на ваше конкретне запитання - «так», обмеження існує. Перетин n нерівностей у m змінних визначає багатогранник. Оскільки коефіцієнти настільки хороші, ми можемо опрацювати верхню межу розмірності координат вершин з невеликою арифметикою. Це дає вам дуже просту верхню межу розмірності будь-якої цілої точки в політопі, а отже, і рішення вашої цілої програми. Ви вже пробували це?

Зокрема, ваша проблема має досить трохи структури (мені цікаво, звідки вона походить?), Тому я впевнений, що ми можемо бути набагато точнішими, ніж це, якщо ми обговоримо його далі.

Тепер для більш загального питання про пошук інформації на цю тему. Це така проблема, яка традиційно потрапляє в теорію лінійного і цілого програмування, підмножина математичного програмування.

Це досить активний напрямок досліджень, але значна частина роботи відбувається в відділах досліджень операцій під заголовками "оптимізація" та "математичне програмування" замість інформатики. Існує багато підручників, що висвітлюють цю тему. Ви можете розглянути той , який використовує Волсі , який ми використовуємо в Берклі. Ось недостатньо використаний список міфів та контрприклад Грінберга, включаючи цілі чи лінійні програми, які можуть дати вам уявлення про те, що люди вважають при аналізі таких проблем. Уолсі щільне, але досить хороше місце для початку - існує безліч методик аналізу ІЛП та вдосконалення формулювань проблем до рівня ефективності.

Дозвольте додати, що якщо ви будете дотримуватися наївного підходу, який я пропоную, аналізуючи геометрію політопа, пошукові терміни стосуватимуться обмеження розміру координат вершин політопа. Ці терміни частіше зустрічаються в математичній літературі про політопи.

Ви можете знайти цей цікавий рахунок:

http://en.wikipedia.org/wiki/Poly Cathedral_combinatorics

і зокрема статтю Г. Циглера:

Лекції на 0-1 політопах

в:

Калай, Гіль; Ziegler, Günter M. (2000), Polytopes: Combinatorics and Computation, DMV Seminar, 29, Birkhäuser, ISBN 9783764363512.