Посилення субмодулярності

13

Функція задавання є монотонною субмодулярною, якщо для всіх , $f$ $A,B$

f (A) + f (B) \geq f (A \cup B) + f (A \cap B) .

$f(A) + f(B) \geq f(A \cup B) + f(A \cap B).$

Більш сильною властивістю є Приймаючи

\begin{matrix} f (A) + f (B) + f (C) + f (A \cup B \cup C) \geq \\ f (A \cup B) + f (B \cup C) + f (A \cup C) + f (A \cap B \cap C) . \end{matrix}

$\begin{multline*} f(A) + f(B) + f(C) + f(A\cup B\cup C) \geq \\f(A\cup B) + f(B\cup C) + f(A\cup C) + f(A \cap B \cap C). \end{multline*}$

, ця властивість передбачає монотонну субмодульність.

C = A \cup B

$C = A\cup B$

Чи відома ця властивість?

Фон

Ця властивість з’явилася під час спроби характеризувати функції покриття. З огляду на деякі зважені всесвіт (всі ваги невід'ємні) і сімейний підмножин , функція охоплення визначаються для в загальній масі елементів , охоплених безлічі в . Функція завжди монотонна і субмодулярна. Зворотне не вірно. $U$ $X$ $U$ $f(S)$ $S \subseteq X$ $S$ $f$

Розглянута властивість означає, що - функція покриття у випадку . Подібні, більш складні властивості роботи для збільшення . Усі ці властивості задовольняються функціями покриття, тому це повна характеристика. $f$ $|X| = 3$ $X$

ds.algorithms approximation-algorithms submodularity

— Юваль Фільм
джерело

13

$k^{th}$

$f(B)-f(A)\ge 0$ $A\subseteq B$

$(f(A\cup B)-f(B))-(f(A)-f(A\cap B))\le 0$

$n$

Щось подібне було вже ймовірно. Функція покриття також може розглядатися як міра ймовірності (до константи масштабування). Єдине посилання, яке я зміг викопати, це сторінка 439 з книги Феллера про вірогідність.

— Ashwinkumar BV
джерело

f (A \cup {x}) \geq f (A)

$f(A \cup \{x\}) \geq f(A)$

f (A \cup {x}) + f (A \cup {y}) \geq f (A \cup {x, y}) + f (A)

$f(A \cup \{x\}) + f(A \cup \{y\}) \geq f(A \cup \{x,y\}) + f(A)$

A, B

$A,B$

7

\begin{matrix} f (A \cap B) + f (A \cap C) + f (B \cap C) + f ((A \cap B) \cup (A \cap C) \cup (B \cap C)) \geq \\ f (A \cap (B \cup C)) + f (B \cap (A \cup C)) + f (C \cap (A \cup B)) + f (A \cap B \cap C) . \end{matrix}

$\begin{multline*} f(A \cap B) + f(A \cap C) + f(B \cap C) + f((A \cap B) \cup (A \cap C) \cup (B \cap C)) \geq \\ f(A \cap (B \cup C)) + f(B \cap (A \cup C)) + f(C \cap (A \cup B)) + f(A \cap B \cap C). \end{multline*}$ Умова "сукупності" згадується у статті "Характеристика конуса псевдобулевих функцій через нерівності типу надмодулярності" Крамма, Хаммера та Хольцмана (нерівність (4)), що є частиною рідкісної збірки "Кількісний метод in den Wirtschaftswissenschaften ". Ця умова повинна бути такою ж, як у мене.

\begin{matrix} f (A) + f (B) + f (C) + f (A \cap B \cap C) \geq \\ f (A \cup B \cup C) + f (A \cap B) + f (A \cap C) + f (B \cap C) . \end{matrix}

$\begin{multline*} f(A) + f(B) + f(C) + f(A \cap B \cap C) \geq \\ f(A \cup B \cup C) + f(A \cap B) + f(A \cap C) + f(B \cap C). \end{multline*}$

C = \emptyset

$C = \varnothing$

— Юваль Фільм
джерело