Проблема кликів на фіксованих графіках

Як ми знаємо, функція -clique C L I Q U E ( n , k ) приймає ( розтягується ) підграф G ⊆ K n повного n -верхового графіка K n , а результати 1 iff G містять k -clique . Змінні в цьому випадку відповідають краях з До п . Відомо (Разборов, Алон-Боппана), що при 3 ≤ k ≤ n /$k$$CLIQUE(n,k)$$G\subseteq K_n$$n$$K_n$$1$$G$$k$$K_n$$3\leq k\leq n/2$, ця функція вимагає монотонних схем розміром приблизно . $n^k$

Але що , якщо ми візьмемо один фіксований граф , і розглянемо монотонну булеву функцію З л я Q U E ( G , K ) , який приймає підмножина S ⊆ [ п ] вершин, і виводить 1 тоді і тільки тоді деякі K вершин в S утворюють верхівку в G . Змінні в цьому випадку відповідає вершинам з K п , а функція тільки стандартна функція кліки , але обмежуються Spanning$G\subseteq K_n$$CLIQUE(G,k)$$S\subseteq [n]$$1$$k$$S$$G$$K_n$підграфи один фіксований графа .$G$

1. Чи існують -верхові графіки G, для яких C L I Q U E ( G , k ) потрібні монотонні схеми розміром більше n O ( log n ) ? Я здогадуюсь - НІ. $n$$G$$CLIQUE(G,k)$$n^{O(\log n)}$

2. Чи є NP-важкою задачею для деякої послідовності графіків ( G n : n = 1 , 2 … ) ? Я здогадуюсь - НІ. $CLIQUE(G_n,k)$$(G_n\colon n=1,2\ldots)$

Зауважимо, що якщо - всі максимальні кліки в G , то C L I Q U E ( G , k ) можна обчислити як АБО r порогових функцій k , i -та з яких перевіряє, чи | S a ∩ C i | ≥ k . Таким чином, якщо r = p o l y ( n $C_1,\ldots,C_r$$G$$CLIQUE(G,k)$$r$$k$$i$$|S_a\cap C_i|\geq k$$r=poly(n)$, тоді вся схема має поліноміальний розмір. А як щодо графіків із експоненціальною кількістю максимальних кліків? (Кліка максимальна, до неї не можна додавати вершин.)

Можна «вбудувати» у C L I Q U E ( H , k ) для конкретного графіка H на n = 2 м вершин. Зокрема, Боллобас та Томасон (1981) показали, що якщо H - графік Адамара, вершини якого є підмножинами [ m ] , а дві вершини u та v є суміжними iff $CLIQUE(m,k)$$CLIQUE(H,k)$$H$$n=2^m$$H$$[m]$$u$$v$є рівним, тоді H містить ізоморфну ​​копію кожного графа G на m вершинах. Чи можна поєднати цей факт з нижньою межею Розборова (приблизно m k ) для C L I Q U E ( m , k ), щоб зробити висновок, що C L I Q U E ( H , k ) вимагає монотонних схем розміром приблизно m k ? Потенційна проблема тут полягає в тому, що хоча графік$|u\cap v|$$H$$G$$m$$m^k$$CLIQUE(m,k)$$CLIQUE(H,k)$$m^k$$H$"містить" всі -верхні графіки, ці графіки не на одному наборі вершин. І аргумент Разборова вимагає, що позитивні та негативні входи ( k -клітики та доповнення повних ( k - 1 ) -частинних графіків) є графами на одній множині вершин. Більше того, всі позитивні входи ( k- кліки) - це просто ізоморфні копії однієї і тієї ж фіксованої k- кліки.$m$$k$$(k-1)$$k$ $k$

3. Будь-які ідеї? Хтось бачив подібні проблеми? Я маю на увазі проблеми з вирішенням підграфів фіксованого графіка. Або, скажімо, проблема SAT для суб- CNF однієї фіксованої (задоволеної) CNF (отримана шляхом видалення деяких літералів)?

Мотивація: Проблеми подібного роду пов'язані зі складністю алгоритмів комбінаторної оптимізації. Але вони, здається, самі по собі цікаві. Чому ми повинні шукати алгоритми, ефективні для всіх графіків? Насправді нас, як правило, цікавлять властивості невеликих шматочків одного (великого) графіка (мережа вулиць у країні, або фейсбук тощо).

Зауваження 1: Якщо граф є дводольним , то вершина край матриця інцидентності з нерівностей х U + х v ≤ 1 для всіх ( U , V ) ∉ Е є повністю унімодулярним, і один може вирішити проблему клики на індукованих підграфах G за допомогою лінійного програмування. Таким чином, для двопартійних графіків G , C L I Q U E ( G , $G=(L\cup R,E)$$x_u+x_v\leq 1$$(u,v)\not\in E$$G$$G$ маєневеликий (хоч і не монотонний) контур. $CLIQUE(G,k)$

Зауваження 2: Вказівка ​​на те, що у випадку двосторонніх графіків відповідь на питання 1 "справді повинна бути НІ" - це те, що наступна монотонна гра Karchmer-Wigderson на G потребує лише O ( log n ) бітів зв'язку. Нехай до найбільше число вершин в повному двочастковий підграф G . Аліса отримує набір A червоних вузлів, Боб набір B синіх вузлів таких, що | А | + | Б | > к . Мета - знайти не-край між $G$$G$$O(\log n)$$k$$G$$A$$B$$|A|+|B|>k$$A$і .$B$

Ми провели деякі дослідження проблеми доказування у деревоподібному дозволі, чи фіксований графік має кліку розміром k (де k зазвичай невеликий). Зокрема, ми виявили, що для великого класу графіків потрібні спростування розміру n Ω ( k ) .$G$$k$$k$$n^{\Omega(k)}$

Ви можете знайти параметр «Параметризована складність процедур пошуку DPLL» за цим посиланням .

Я вважаю, що цей документ може відповісти на ваші запитання: http://arxiv.org/abs/1204.6484

У статті визначено сімейства NP важких проблем 3SAT, таким чином, що структура формули фіксована для кожного n, а вхід - полярність формули.

Використовуючи стандартне скорочення від 3SAT до CLIQUE (кожен пункт 3CNF визначає набір з 8 можливих призначень (або 7 задовольняючих завдань), з ребрами між неконфліктуючими завданнями), є такий графік, що після видалення однієї вершини для кожного пункту це NP важко знайти максимальну кліку (або навіть приблизно визначити її розмір, використовуючи графічні продукти або нераціоналізовані графічні продукти)

Після Q3, є деяка емпірична робота над "хребтом" та можливими проблемами "SAT" на задньому плані. основою є сукупність літералів, які відповідають дійсності в кожному задовольняючому завданні. Зворотний бік проблеми SAT - це (сподіваємось, невеликий) набір змінних, які забезпечують “скорочення” у вирішенні проблеми. ці дві структури, ймовірно, можуть бути корисними та / або ключовими в розумінні того, що ви називаєте "суб-CNF" або CNF з видаленими змінними. але також DP, алгоритм Девіса путнам можна розглядати як систематичне дослідження багатьох "суб-CNF" CNF для його вирішення.

[1] Кістяки та задні стежки в задоволенні від Kilby et al