Особливі випадки графічного TSP

У графічному TSP вам надається невагомий непрямий графік а мета - знайти найкоротший тур в який відвідує кожну вершину хоча б один раз . Зверніть увагу , що це не так же , як знайти гамільтонів цикл в . Мої запитання:$G$$G$$G$

У чому полягає складність графічного TSP на обмежених графіках ширини?

Чи існують якісь особливі випадки графічного TSP з нетривіальними поліноміально-часовими алгоритмами?

Наскільки я знаю, динамічне програмування робить свою справу

Документ Клейна про TSP для плоских графіків містить деталі для плоских графіків із обмеженою шириною дерева. Якщо графік не планарний, динамічна програма повільніше (залежність від ширини дерева гірша).

Філіп Н. Кляйн: схема лінійного апроксимації лінійного часу для TSP у непрямих площинних графіках з вагами . SIAM J. Comput. 37 (6): 1926-1952 (2008) ( PDF на веб-сайті Філіпа Кляйна )

Динамічне програмування також використовується для отримання PTAS для графіків з обмеженим родом та другорядними (але, наскільки я пам’ятаю, автори не вказують деталі DP).

Ерік Д. Демен, Мохаммед Тагі Хаджіаї, Божан Мохар: Алгоритми апроксимації за допомогою скорочення розкладання . Combinatorica 30 (5): 533-552 (2010) ( Доповідь на веб-сайті Еріка Демена )

Ерік Д. Демен, Мохаммед Тагі Хаджіаї, Кен-Ічі Каварабаяші: Розкладання скорочень у графіках та алгоритмічних програмах, що не містять малих мінор . STOC 2011: 441-450

Відео про ці конструкції PTAS див. У плановому TSP та без мінорних TSP (знову не зосереджуючись на частині ширини дерева).

Я вважаю,$k$ графів, задача точно розв’язана в многочлени за часом $n$ і $k^k$. Це справедливо також для метричної задачі на зважених обмежених графіках ширини. Один робить динамічну програму, де для кожного мішка ви маєте запис для всіх можливих способів переходу з однієї сторони сумки на іншу. З$k$ вузлів у сумці, один має максимум $k^k$можливі конфігурації переходу з одного боку сумки на інший. Фактично це працює для будь-якого сімейства графіків, який можна розділити, використовуючи невеликі вершинні роздільники на компоненти, що належать до сімейства (і, зокрема, мають самі невеликі вершинні роздільники). Час роботи буде$poly(n, k^k)$ якщо роздільники мають розмір $k$.

Погляньте на Марека Цигана, Джеспера Недерлофа, Марчіна Піліпчука, Міхала Піліпчука, Йохана ван Рооя, Якуба Онуфрія Войташчика, " Розв’язання проблем зв’язку, параметризованих по ширині, за один експоненційний час ", 2011 рік.

Я думаю, ви можете використовувати їх ідеї, щоб отримати рандомізований вибір $\mbox{poly}(n)2^{O(k)}$ алгоритм часу для широкої ширини-$k$ графіки на $n$ вершин.