Оптимальний алгоритм для знаходження діапазону розрідженого графіка?

Цікаво, як знайти обхват розрідженого ненаправленого графіка. Під рідким я маю на увазі . Під оптимом я маю на увазі найнижчу складність у часі.$|E|=O(|V|)$

Я подумав про деяку модифікацію алгоритму Таряна для ненаправлених графіків, але не знайшов хороших результатів. Насправді я думав, що якщо мені вдасться знайти 2-з'єднані компоненти в , то я можу знайти обхват, завдяки якійсь індукції, яку можна досягти з першої частини. Я, мабуть, не на тому шляху. Будь-який алгоритм асимптотично кращий за Θ ( | V | 2 ) (тобто o ( | V | 2 ) ) вітається.$O(|V|)$$\Theta(|V|^2)$$o(|V|^2)$

Ось що я знаю про проблему обхвату в непрямому невагомому графіках. Перш за все, якщо обхват рівний, ви можете визначити його за час - це старий результат Ітая та Роде (А. Ітаі та М. Роде. Знаходження мінімальної схеми в графіку. SIAM J . Обчислювальна техніка, 7 (4): 413–423, 1978.). Ідея існує: для кожної вершини в графі запускайте BFS до тих пір, поки перший цикл не буде закритий (потім зупиніться та переходьте до наступної вершини); повернути найкоротший знайдений цикл. Якщо обхват навіть найкоротшого знайденого циклу, це найкоротший цикл. Зокрема, якщо ваш графік двосторонній, це завжди обчислює обхват. Однак, якщо обхват g є непарним, ви знайдете цикл довжини g або g $O(n^2)$$g$$g$ , тож ви можете вимкнутись на 1 .$g+1$$1$

Тепер справжньою проблемою з непарним обхватом є те, що неминуче ваш алгоритм повинен був би бути в змозі виявити, якщо графік має трикутник. Найкращі алгоритми для цього використовують матричне множення: min { n 2.38 , m 1.41 ) час для графіків на n вузлах і m ребрах. Itai і Rodeh також показали, що будь-який алгоритм, який може знайти трикутник у щільних графах, також може обчислити обхват, тому у нас є алгоритм обхвату часу O ( n 2,38 ) . Однак час виконання обхвату в розріджених графіках не настільки гарний, як для пошуку трикутників. Найкраще, що ми знаємо загалом, це O ( $O($$n^{2.38}, m^{1.41})$$n$$m$$O(n^{2.38})$ . Зокрема, тощоздається, найважче, щоб знайти O ( п 2 ) алгоритм часу для графів з т = Про ( п ) .$O(mn)$$o(n^2)$$m=O(n)$

Якщо вам трапляються турботи про алгоритми наближення, ми з Ліамом Родтітті нещодавно працювали в SODA'12 про це: Ліам Родітті, В. Василевська Вільямс: Алгоритми аппроксимації підквадратичного часу. СОДА 2012: 833-845. Там ми показуємо, що апроксимація може бути знайдена в підквадратичний час, а також деякі інші результати, що стосуються адитивних наближень та розширень. Взагалі кажучи, через теорему Бонді і Симоновиця, коли у вас є графіки щільності, скажімо, на n 1 + 1 / k ребрах, вони вже містять короткі парні цикли, скажімо, приблизно 2 $2$$n^{1+1/k}$$2k$. Так чим щільніше графік, тим простіше знайти гарне наближення до обхвату. Коли графік дуже рідкий, обхват може бути по суті довільно великим.

Пошук обхвату площинного графа має цікаву історію. Дивіться цей документ Чанга та Лу про лінійний алгоритм часу та історію вдосконалень.

Не існує загальної методики пошуку обхвату будь-якого розрідженого графіка. Часто нам доводиться шукати пов'язані спеціальні декомпозиції або вкладення, щоб досягти кращих меж. Якщо графік є «по-видимому» розрідженим, часто є приємна структура, пов’язана з ним. Наприклад, графіки обмеженої широти ширини є рідкісними і мають пов'язані з цим декомпозиції дерев.

$o(n^2)$