Геометрична картина за квантовими розширювачами

(також запитували тут , без відповідей)

$(d,\lambda)$$\nu$$\mathcal{U}(d)$$|\mathrm{supp} \ \nu| =d$$\Vert \mathbb{E}_{U \sim \nu} U \otimes U^{\dagger} - \mathbb{E}_{U \sim \mu_H} U \otimes U^{\dagger}\Vert_{\infty} \leq \lambda$$\mu_H$$d$ by Harrow and Low.

Моє запитання: чи допускають квантові розширювачі будь-який вид геометричної інтерпретації, подібний до класичних розширювачів (де спектральний розрив ізопериметрія / розширення основного графіка)? Я не визначаю "геометричну реалізацію" формально, але концептуально можна сподіватися, що суто спектральний критерій може бути переведений на якусь геометричну картину (що, у класичному випадку, є джерелом математичного багатства, яким користуються розширювачі; математична структура кванту еспандери, здається, значно обмеженіші).$\sim$

[Ця відповідь була скопійована з моєї відповіді на теперішньому неіснуючому теоретичному сайті stackexchange.] Для класичних розширювачів спектральне визначення можна виразити у вигляді другого найменшого власного значення графіка Лаплаціана, який можна вважати мінімумом квадратична форма над усіма одиничними векторами, ортогональними вектору «всі». Якщо ми обмежимо цю мінімізацію векторами форми (a, a, ..., a, b, b, ..b), то це дає граничне розширення графіка. ось дискусія. Приблизна еквівалентність цих двох визначень відома як нерівність Чегера .

Це говорить про те, що для квантового випадку слід розглянути дію каналу (утвореного шляхом застосування випадкового унітару від розширювача) на проектори. Результат, аналогічний нерівності Чегера, виведений у Додатку А arXiv: 0706.0556 .

З іншого боку, хоча це математично аналогічно, ми все ще знаємо про набагато меншу кількість застосувань квантових розширювачів, ніж це відомо для класичних розширювачів.