Розбірливість фрактального лабіринту

Фрактальний лабіринт - це лабіринт, який містить копії себе. Наприклад, наступний автор від Марка JP Wolf з цієї статті :

Почніть з МІНУСУ та пройдіться до ПЛЮСу. Коли ви введете меншу копію лабіринту, не забудьте записати назву літери цієї копії, оскільки вам доведеться залишити цю копію на виході. Ви повинні вийти з кожної вкладеної копії лабіринту, який ви ввели, залишаючи в зворотному порядку, в якому ви їх ввели (наприклад: введіть A, введіть B, введіть C, виберіть C, виїз B, виїзд A). Подумайте про це як серію вкладених коробок. Якщо шлях виходу не залишає вкладеної копії, ви досягли тупикової точки. Колір був доданий, щоб зробити шляхи чіткішими, але він лише декоративний.

Якщо рішення існує, пошук в першу чергу повинен знайти рішення. Однак припустимо, що рішення лабіринту не існує - тоді наша пошукова програма працюватиме назавжди все глибше і глибше.

Моє запитання: даючи фрактальний лабіринт, як ми можемо визначити, має він рішення чи ні?

Або альтернативно, для фрактального лабіринту заданого розміру (кількість входів / виходів на копію) існує обмеження на довжину найкоротшого рішення? (якби такий зв’язок був, ми могли б наполегливо шукати лише те глибоке)

Швидкий неформальний алгоритм для підтвердження вирішення проблеми:

• Припустимо , що існує входів / виходів I 1 , . . . Я н ;$n$$I_1,...I_n$
• побудуйте графік де кожен I i , M I N U S і P L U S є вузлами, і замініть кожен вкладений лабіринт M j на під n підграф K (повний графік); додайте ребра між I i , M I N U S , P L U S , M j I k відповідно до лабіринту; тримати «екстерн» M j I i → M $G$$I_i$$MINUS$$PLUS$$Mj$$K_n$$I_i, MINUS, PLUS, Mj_{I_k}$ кромок відміну від відповідних «внутрішніх» реберII→IKзMJу вигляді повного подграфа;$Mj_{I_i} \rightarrow Mj_{I_k}$$I_i \rightarrow I_k$$Mj$
• перерахувати всі шляхи від MINUS до PLUS у (уникаючи циклів);$G$
• якщо ви знайдете шлях, який не проходить вкладену копію, то це рішення; інакше розгорніть кожен "внутрішній" обхід вкладених лабіринтів кожного шляху:$Mj$

Припустимо, що шлях у першому перерахуванні - , тоді шлях є правильним рішенням, якщо є шлях з I i → I j і від I k → I h у початковому лабіринті (графік G ).$MINUS \rightarrow A_{I_i} \rightarrow A_{I_j} \rightarrow B_{I_k} \rightarrow B_{I_h} \rightarrow PLUS$$I_i \rightarrow I_j$$I_k \rightarrow I_h$$G$

Таким чином , ми повинні розширити на і B I K → B I ч обходів перераховують всі шляхи від I я до I K і від I K до I ч в G .$A_{I_i} \rightarrow A_{I_j}$$B_{I_k} \rightarrow B_{I_h}$$I_i$$I_k$$I_k$$I_h$$G$

Нескінченні цикли виявляються , коли ми перераховуючи всі шляхи від до I до в розкладанні шляху , який в попередній стадії вже містяться . . . → M I i → M I k → . . . для деякого підмножини M (існує лише n 2 можливих розширень).$I_i$$I_k$$... \rightarrow M_{I_i} \rightarrow M_{I_k} \rightarrow ...$$M$$n^2$

Рішення знайдеться, якщо ми знайдемо розширення контуру, яке містить лише входи / виходи ; лабіринт не має рішення, якщо ми не зможемо додатково розширити шляхи без циклів.$I_i$

Це не "відповідь" на моє запитання, а скоріше розширений коментар, який тут може бути цікавим людям.

Я стверджую, що існує природне визначення типу "аналіз" лабіринту та рішення, і воно відрізняється від визначення, яке ми використовували тут, з інформатики / графо-теоретичного визначення. Зокрема, у вас може бути фрактальний лабіринт, який має "рішення" за визначенням аналізу, але був би оголошений нерозв'язним за алгоритмом Марісіо Де Біасі та технікою натискання автоматів Пітера Шора.

Визначення: лабіринт являє собою компактне підмножина площині М ⊂ R 2 , що містить початкову точку і кінцеву точку з , е ∈ М , відповідно. Рішення є безперервною функцією F : [ 0 , T ] → M така , що F ( 0 ) = s і е ( Т ) = е .$M$$M \subset \mathbb{R}^2$$s,e \in M$$f:[0,T] \rightarrow M$$f(0)=s$$f(T)=e$

Тепер розглянемо криву Гільберта :

Можна було б інтерпретувати цю криву як "фрактальний лабіринт" із такою схемою:

$P$

$P = APA^{-1}BPB^{-1}CPC^{-1}DPD^{-1}$

Тепер ви можете стверджувати, що це не в дусі фрактальних лабіринтів, оскільки крива Гільберта заповнює всю площу, і тому ви могли просто намалювати відрізок прямої лінії від початку до кінця. Це заперечення легко перекрити, проте просто використовуйте схему вбудовування кривої Гільберта, як показано тут:

Це також містить послідовність рівномірно збіжних безперервних контурів, що йдуть від початку до кінця, тим самим аргументом, який використовується для показу рівномірного зближення кривої Гільберта. Однак це справжній "фрактальний лабіринт" в тому сенсі, що він не заповнює весь простір.

Таким чином, ми маємо фрактальний лабіринт, який можна вирішити за аналітичним визначенням, але нерозв’язним за теоретичним визначенням графа ..!?

У будь-якому випадку я впевнений, що моя логіка правильна, але здається, що вона є протизаконною, тому, якщо хтось може пролити щось на це, я би вдячний.