Як обчислити потужності квадратних матриць?

Нехай нам дають матрицю , і нехай m ∈ N 0 . Як швидко ми можемо обчислити потужність A m цієї матриці?$A \in \mathbb R^{N\times N}$$m \in \mathbb N_0$$A^m$

Наступне найкраще в порівнянні з обчисленням -продуктів - це використання швидкої експоненції, що вимагає матричних продуктів O ( log m ) .$m$$\mathcal O(\log m )$

Для діагоналізуючих матриць можна використовувати розкладання власного значення. Це природне узагальнення, розкладання Йорданії, нестабільне в умовах пертубації і тому не рахується (афаік).

Чи можна збільшити матричне експоненцію в загальному випадку?

Швидка експоненція дозволяє запропонувати також варіацію цього питання:

Чи можна обчислити квадрат загальної матриці швидше, ніж за відомими алгоритмами множення матриць?$A$

Як зазначаєте, обчислення $A^m$$O(\log m)$$N \times N$$A$$B$$2n \times 2n$$C$

$[0~~A]$

$[B~~0]$

$C$$n \times n$$C^2$$A\cdot B$