Складність вирішення питання про те, чи є матриця абсолютно регулярною

Матриця називається абсолютно регулярною, якщо всі її квадратні підматриці мають повний ранг. Такі матриці використовувались для побудови суперконцентраторів. У чому полягає складність вирішення того, чи є дана матриця абсолютно регулярною щодо раціональних? Над обмеженими полями?

Більш загально, називаємо матрицю повністю -регулярною, якщо всі її квадратні підматриці розміром не більше мають повний ранг. З огляду на матрицю та параметр , яка складність вирішити, чи матриця є повністю -регулярною? $k$ $k$ $k$ $k$

— Маркус Блазер
джерело

Елементарне запитання: що ви маєте на увазі, коли говорите звичайну матрицю? Спасибі!

— Генрі Юен

ти маєш на увазі, що кожна підматриця не є сингулярною? я пам'ятаю, було подібне питання, яке я зараз не можу знайти

— Сашо Ніколов

Дійсно, є три різні значення регулярних: en.wikipedia.org/wiki/Regular_matrix

— Suresh Venkat

ах, знайшли відповідне питання: cstheory.stackexchange.com/questions/10962 / ... . ваше запитання більше відповідає коментарю, який я зробив там: це простіший варіант (широко відкритого AFAIK) питання тестування партії з обмеженою ізометрією.

— Сашо Ніколов

За обмеженими полями тестування, чи матриця

-регулярною, еквівалентно перевірці, чи має матриця генератора коду

мінімальне відстань

(тобто, чи є MDS). Навіть постійні факторні наближення для знаходження мінімальної відстані коду важкі. Перевірте цей документ ee.ucr.edu/~dumer/ieee49-1-03-np.pdf та посилання всередині.

n \times k

$n\times k$

k

$k$

n \times k

$n\times k$

n - k + 1

$n-k+1$

— Димитріс

Відповіді:

Паперові матриці Вандермонде, NP-завершеність та поперечні підряди [ps] Олександра Чистова, Ерве Фурньє, Леоніда Гурвіца та Паскаля Койрана можуть бути доречними для вашого запитання (хоча він не відповідає на нього).

Вони доводять -комплектність наступної задачі: матрицю над ( ), вирішіть, чи існує підматриця , детермінант якої зникає. $\mathsf{NP}$ $n\times m$ $\mathbb Z$ $n\le m$ $n\times n$

— Бруно
джерело

Спасибі, Бруно! Чи не можемо ми зменшити проблему вашої відповіді на мою проблему випадковим скороченням (над раціональними)? Просто додайте

випадкових рядків. Якщо нова матриця не є абсолютно регулярною, вона містить сингулярну

-підматрицю в перших

рядках з високою ймовірністю. А, ні. Підматриця може бути меншою. Але, можливо, можна зробити цю роботу ...

m - n

$m-n$

n \times n

$n \times n$

n

$n$

— Маркус Бласер

Так, ваша проблема, по суті , еквівалентно одному (загальне положення) в Олександрівському Чистова, Ерве Фурньє, Леонід Гурвіц і Паскаль Koiran паперу .

Розглянемо матрицю , . Не втрачаючи загальності, припустимо, що і перші стовпців незалежні: , де - неоднорідна матриця . Тепер містить особливу підматрицю тоді і лише тоді, коли $n \times m$ $A$ $n < m$ $\text{rank}(A) = n$ $n$ $A$ $A =[B\ |\ D]$ $B$ $n \times n$ $A$ $n \times n$ $B^{-1}D$ не зовсім регулярно.

— леонідні гурвіти
джерело

Існує ще одна проблема NP-Complete у тому ж дусі: квадратна матриця вирішує, чи всі її основні підматриці (тобто рядки та стовпці з одного набору) неоднорідні. Ще один цікавий факт: сума квадратів визначників усіх квадратних підматриць проста (просто Det (I + AA ^ {T})), але сума абсолютних значень # P-Повна.

— леонідні гурвіти
джерело