Вирішальний графік гомоморфізму взагалі NP-завершений.
Чи є якісь результати, які вивчають цю проблему, коли основні графіки мають алгебраїчну структуру (наприклад, вирішення гомоморфізмів з графіків Кейлі або Кейлі в інших графіках з певною структурою)? Крім результатів складності, мене також цікавлять корисні алгебраїчні та / або спектральні методи.
Відповіді:
Якщо - клас графіків з обмеженою шириною ширини, то задача гомоморфізму з графіків у G є вирішуваною багаточленним часом. Це можна узагальнити до більш загальної властивості "графіків, ядро яких обмежило широту ширини".
Grohe доводить зворотне: якщо ядра графіків у мають необмежену ширину, то проблема гомоморфізму з G не вирішується в поліноміально-часі (якщо вважати F P T ≠ W [ 1 ] ). Отже, якщо ви обмежите лівий графік графами Кейлі тощо, то важливо, чи обмежують ядра ширину ширини.
http://dl.acm.org/authorize?951212
Зауважте, що це не відповідає повністю на ваше запитання: в результаті Грохе передбачається, що правий графік є довільним. Здається, вас цікавлять результати, коли графік правої частини також обмежений певним класом графіків.
Вирішити, чи є гомоморфізм графіка, простіше, ніж підрахувати кількість (зважених) гомоморфізмів графа.
Для непрямих цільових графіків (тобто кількості зважених гомоморфізмів графа від вхідного графіка G до H ) існує теорема про дихотомію.
Цзінь-Ін Чай, Сі Чен, Піньян Лу. Графічні гомоморфізми зі складними значеннями: теорема про дихотомію .
Простежуваність випливає із здатності ефективно обчислювати експоненціальну суму по послідовності змінних за модулем
Невагомий випадок набагато простіший. Нижче я викладаю теорему 1.1 з наступної роботи.
Мартін Дайер, Кетрін Грігілл. Складність підрахунку графіків гомоморфізмів . (Також це пряме посилання на безкоштовний PDF.)
Нехай - фіксований графік. Тоді проблема підрахунку Н -барвлення графіків дорівнює # P, якщо H має з’єднаний компонент, який не є повним графіком із усіма присутніми циклами, або повним двостороннім графіком без циклів. Інакше проблема підрахунку є в P.