Шукаєте приємну проблему всередині SC, але не на перших двох рівнях

Складність зоопарк не має багато про $\mathsf{SC}$ . Я шукаю приємну проблему, що знаходиться на більш високих рівнях ієрархії, тобто проблему в але невідомо, що в . $^\dagger$ $\mathsf{DTimeSpace}(n^{O(1)},\lg^{O(1)} n)$ $\mathsf{DTimeSpace}(n^{O(1)},\lg^2n)$

Як побічне запитання, чи є якась відома причина, чому пошук прикладів приємних проблем у вищих рівнях ієрархій ( , , , тощо)? складніше, ніж перші рівні? $\mathsf{AC}$ $\mathsf{NC}$ $\mathsf{SC}$ $\mathsf{PH}$

$\dagger$ хоча приємно - це не математичний термін, я думаю, що ми інтуїтивно розуміємо, що це означає, наприклад, прийняття проблеми для NTM - це штучна проблема, що люди не зацікавлені в тому, щоб вона була повною для , тоді як розфарбування графіка Проблема була цікавою до того, як було відомо, що вона є / повною для і все ще цікава, окрім класу складності, до якого вона належить. $\mathsf{NP}$ $\mathsf{NP}$

cc.complexity-theory complexity-classes

— Каве
джерело

(1) "прийняття проблеми для NTM не є штучною проблемою, що люди не зацікавлені в тому, щоб вона була повною для NP": здається, у вас тут є надмірне "не".

— Цуйосі Іто

(2) "Як побічне запитання, чи є якась відома причина, чому пошук прикладів приємних проблем у вищих рівнях ієрархій (AC, NC, SC, PH тощо) складніше, ніж на перших рівнях?" глибша причина, ніж «Нижчі рівні простіші, і тому в них є багато приємних прикладів»?

— Цуйосі Іто,

@Tsuyoshi, дякую, я зайвий не видалив. Близько 2, так, мені потрібна глибша причина приємних проблем, що падають на низький рівень ієрархій. Я не бачу великої визначної різниці між

і кажу

D T i m e S p a c e (n^{O (1)}, \lg^{2} n)

$\mathsf{DTimeSpace}(n^{O(1)},\lg^2 n)$

D T i m e S p a c e (n^{O (1)}, \lg^{4} n)

$\mathsf{DTimeSpace}(n^{O(1)},\lg^4 n)$

— Каве

Звичайно, визначення те саме. Різниця полягає в тому, що log ^ 2 простіший, ніж log ^ 4. Цей же аргумент стосується запитання, чому існує набагато більше алгоритмів, які працюють у часі O (n ^ 2), ніж ті, які працюють у часі O (n ^ 4).

— Цуйосі Іто

@Tsuyoshi, я не впевнений, що ти маєш на увазі під

простішим, ніж

. Питання також відноситься до

\lg^{4}

$\lg^4$

\lg^{2}

$\lg^2$

P

$\mathsf{P}$

— Каве

У мене немає пропозиції щодо природної проблеми в , але у мене є пропозиція щодо вашого побічного питання, чому знайти таке Проблема здається важкою. Я думаю, що це має щось спільне з фольклорною ідеєю, яку люди можуть реально усвідомити (а може бути, їх цікавить лише математика? Або обоє?), Що є глибоким кількома кількісними чергуваннями. Наприклад, визначення межі є двома кванторами глибиною (для всіх епсилонів існує дельта ...); визначення " $\mathsf{DTimeSpace}(n^{O(1)}, \log^4 n)$ $L \in \mathsf{NP}$ "є двома кванторами (існує така машина, що для всіх входів ...), а вислів" "три глибинні. $\mathsf{P} \neq \mathsf{NP}$

Щодо , то це дещо підтверджується тим, що існує безліч природних проблем, які є -комплектними, багато природних проблем, що -повні, і лише кілька відомих природних проблем, що -комплект (див. Збірник Шефера та Уманса ). Найбільш природні проблеми, які, як відомо, є повними для вищих рівнів походять із самої логіки, що менш дивно, оскільки в межах даної логіки часто є поняття " $\mathsf{PH}$ $\mathsf{NP}$ $\mathsf{\Sigma_2 P}$ $\mathsf{\Sigma_3 P}$ $\mathsf{PH}$ $k$ - численні чергування кількісних показників "або, принаймні, якийсь природний спосіб їх моделювання. Вони, можливо, підпадають під ту саму категорію, як" прийняття проблем для NTM ", які ви заявили" недостатньо приємними "для цього питання.

Можливо, варто також зазначити, що те саме відбувається у світі обчислюваності, що, можливо, говорить про те, що воно має більше стосуватися нашого розуміння чергування кількісних показників і менше складності як такої. Як відомо, багато природних проблем є -повними (що еквівалентно проблемі зупинки), а багато природних проблем, як відомо, є завершеними для другого та третього рівнів арифметичної ієрархії. Але як ви переходите на більш високі рівні арифметичної ієрархії, тим менше і менше природних проблем, як відомо, є повноцінними для цих рівнів. Я не впевнений, що знаю про природну проблему, повну для , і ніколи не чув про повну природну проблему для $\mathsf{\Sigma^0_1}$ $\mathsf{\Sigma^0_4}$ $\mathsf{\Sigma^0_5}$ (хоча, можливо, є).

Що стосується полілогіармічних космічних меж, я думаю, подібне міркування стосується, але тим більше. Оскільки , навіть проблеми, що знаходяться в "перших кількох" рівнях " ієрархії", фактично є в (ієрархія руйнується) ), який міститься в просторі журналу. $\mathsf{NL} = \mathsf{coNL} \subseteq \mathsf{DSPACE}(\log^2 n)$ $\mathsf{NL}$ $\mathsf{NL}$

— Джошуа Грохов
джерело

Це дуже цікава відповідь.

— Суреш Венкат

Дякую Джошуа, це справді приємне спостереження. Це начебто підказує гносеологічну перспективу: те, що виглядає природним для людини, має обмежену складність квантових оцінок.

— Каве