Малювання графіків з кількома «гострими» вершинами?

Для планарного вбудовування площинного графа на площину з прямими краями визначте вершину як гостру вершину, якщо максимальний кут між двома ребрами, що перебувають під нею, більше 180. Або іншими словами, якщо існує лінія, що проходить через неї вершина вбудовування така, що всі ребра, що падають на цю вершину, лежать на одній стороні лінії, то вершина "гостра", інакше це не так. Також турбуємося лише про вершини зі ступенем принаймні 3.

Я хочу намалювати плоскі графіки з кількома різкими вершинами. Хтось раніше вивчав такі малюнки?

Зокрема, я хочу намалювати плоскі графіки з максимальним ступенем 3 таким чином, що кількість гострих вершин ступеня 3 у вбудовуванні дорівнює а координати вершин можна записати з поліноміальним числом біт.$O(\log n)$

Ось що я можу знайти, витративши деякий час на Google Scholar:

Мій показник різкості вершини пов'язаний з уже вивченою концепцією під назвою Angular Resolution . З Вікіпедії:

Кутове дозвіл малюнка графіка відноситься до найгострішого кута, утвореного будь-якими двома ребрами, що зустрічаються в загальній вершині малюнка.

Таким чином, плоский малюнок з кутовою роздільною здатністю навколо вершин 3 ступеня буде корисним для моєї мети.$\pi/2$

Для вершини зі ступенем на кресленні кутова роздільна здатність навколо неї може бути не більше .$d$$2\pi/d$

Питання про те, чи є це жорстким, вивчалося раніше, але я можу знайти лише асимптотичні результати. Наприклад, Маліц і Папакостас доводять, що будь-який плоский графік з максимальним ступенем може бути намальований з кутовою роздільною здатністю . Але цей результат не дає хороших меж для випадку, коли .$d$$\alpha^d$$d=3$

$\Theta(n)$

З іншого боку, якщо вам потрібні більш високі рівні зв’язку, ви можете уникнути наявності багатьох гострих вершин. Зокрема, якщо у вас є 3-з’єднаний плоский графік, він може бути намальований (наприклад, використовуючи теорему Штейніца для пошуку багатогранного подання, а потім формування перспективної проекції) таким чином, що всі грані випуклі, що викликає лише зовнішнє обличчя має бути гострим. Але кожен 3-з’єднаний плоский графік може бути вбудований таким чином, що зовнішня грань має максимум п’ять вершин (найгірший випадок - додекаедр), тому ви можете намалювати кожен 3-з’єднаний плоский графік (3-регулярний чи ні) з більшість п'яти гострих вершин.