Що означає аргументи евристичної статистичної фізики?

Я чув, що в статистичній фізиці є евристичні аргументи, які дають результати теорії ймовірностей, для яких суворі докази або невідомі, або дуже важкі для отримання. Який простий іграшковий приклад такого явища?

Було б добре, якби відповідь передбачала незначну основу статистичної фізики і могла б пояснити, що це за таємнича евристика і як їх можна неофіційно виправдати. Також, можливо, хтось може вказати на широку картину того, наскільки ці евристики можуть бути жорстко виправдані і як програма Lawler, Schramm та Werner вписується в це.

Другий параграф відповіді RJK заслуговує на більш детальну інформацію.

Нехай - формула у сполучній нормальній формі, з m застереженнями, n змінними та не більше k змінних на кожне слово. Припустимо, ми хочемо визначити, чи має задовольняюче завдання. Формула є випадком проблеми рішення k-SAT.ϕ $\phi$$\phi$$\phi$

Коли застережень мало (тому m порівняно з n) досить малим, то майже завжди можна знайти рішення. Простий алгоритм знайде рішення приблизно за лінійним часом у розмірі формули.

Коли є багато пропозицій (тому m досить великий у порівнянні з n), то майже завжди буває так, що рішення немає. Це можна показати аргументом підрахунку. Однак під час пошуку майже завжди можна обрізати великі частини пошукового простору за допомогою прийомів послідовності, оскільки багато пропозицій взаємодіють так сильно. Встановлення незадовільності тоді зазвичай можна зробити ефективно.

• В. Чваталь та Б. Рід. Мік отримує деякі (шанси на його стороні) , FOCS 1992. doi: 10.1109 / SFCS.1992.267789

У 1986 р. Фу та Андерсон придумали зв'язок між оптимізаційними проблемами та статистичною фізикою, заснованої на системах прядильного скла. Хоча вони вживали речення на кшталт

Інтуїтивно, система повинна бути достатньо великою, але важче бути більш конкретною.

вони насправді дають конкретні прогнози.

• Y Fu та PW Anderson. Застосування статистичної механіки до повних задач NP в комбінаторній оптимізації , Дж. Фіз. A. 19 1605, 1986. doi: 10.1088 / 0305-4470 / 19/9/033

На підставі аргументів статистичної фізики Зекчина та його співробітники здогадуються, що k-SAT повинен стати жорстким, коли знаходиться біля критичного значення. Точне критичне значення залежить від k, але знаходиться в області від 3,5 до 4,5 для 3-SAT.$\alpha = m/n$

• Ремі Монассон, Ріккардо Зеччина, Скотт Кіркпатрік, Барт Сельман, Лідрор Троянський. Визначення обчислювальної складності від характерних `фазових переходів ' , Природа 400 133–137, 1999 р. ( Doi: 10.1038 / 22055 , вільна версія )

Фрідгут надав суворий доказ цих евристичних аргументів. Для кожного фіксованого значення k існує два пороги . Для нижче існує задовольняюче завдання з високою ймовірністю. Для значення вище , формула незадовільна з високою ймовірністю. α α 1 α α 2$\alpha_1 < \alpha_2$$\alpha$$\alpha_1$$\alpha$$\alpha_2$$\phi$

• Ехуд Фрідгут (з додатком Жана Бургена), різкі пороги властивостей графа та -садова проблема$k$ Дж. Амер. Математика. Соц. 12 1017–1054, 1999 рр. ( PDF )

Дімітріс Ахліоптас працював над багатьма питаннями, що залишилися, і показав, що вищезазначений аргумент також стосується проблем задоволення обмежень. Вони можуть використовувати більше двох значень для кожної змінної. В одному з ключових статей чітко показано, чому алгоритм розповсюдження опитування працює так добре для вирішення випадкових випадків k-SAT.

• А. Браунштайн, М. Мезард, Р. Зеччина, поширення опитування: алгоритм задоволення , випадкові структури та алгоритми 27 201–226, 2005. doi: 10.1002 / rsa.20057
• Д. Ахліоптас та Ф. Річчі-Терсенгі, Про геометрію рішення та простору рішень проблем задоволення випадкових обмежень , STOC 2006, 130–139. ( додрук )

Існує зовсім недавнє опитування Lawler щодо СКВ . Вам потрібно буде знати трохи складного аналізу.

Хоча це не пов'язане безпосередньо з вашим запитанням, можливо, ви могли б ознайомитись з кількома документами Ахліоптаса, які також підпадають під парасольку "формалізуючої евристики фізиків", хоча з точки зору теоретичного комп'ютерного вченого. Або, можливо, глибше в перспективу statphys ви могли переглянути деякі роботи Зекхіна .

Я думаю, варто додати, що те, що ви назвали результатами фізиків - більшість з яких слід назвати припущеннями, - в цій дуже широкій категорії проблем покладається майже стільки ж (або навіть більше) на числові експерименти, як ( ніж) на евристичних аргументах.

(розширюючи мій коментар)

$NP$

Огляд " евристики від природи " можна знайти тут (близько 95)

Інша евристика передбачає узагальнені лангрангіанці (також алгоритми первинного подвійного / максимізаційного очікування)

Однак це не вичерпує всю " евристику від природи ", оскільки насправді з 2003 року нові евристики, засновані на електромагнетизмі , використовувались для вирішення як безперервних, так і дискретних / комбінаторних методів оптимізації (як, наприклад, багатовимірний рюкзак , або TSP , близько 2012 р.)