Ефективно вирішити систему строгих лінійних нерівностей з усіма коефіцієнтами, рівними 1, без використання загального розв'язника LP?

За заголовком, окрім використання розв'язувача LP загального призначення, чи існує підхід до рішення систем нерівностей щодо змінних де нерівності мають вигляд ? Що з особливим випадком нерівностей, що утворюють загальний порядок над сумами членів множини ? $x_i, \ldots, x_k$ $\sum_{i \in I} x_i < \sum_{j \in J} x_j$ $\{x_i, \ldots, x_k\}$

ds.algorithms linear-algebra linear-programming

— веселість
джерело

@Ankur: не має значення, чи це цілі числа, так і дійсні. Якщо це суворі нерівності, ви можете округлити їх до раціональних, а потім помножити їх на найменший загальний знаменник, щоб отримати ціле число.

— Петро Шор

Я поняття не маю, що можна кодувати за 30 хвилин (якою мовою?). Якщо це критерій "простого", чи це взагалі питання теоретичної інформатики?

— Цуйосі Іто

Хороший момент Пітер Шор. веселість, я повертаю свою заяву назад. Я думав, що комбінаторна проблема задоволення цих суворих нерівностей та опукла аналітична проблема пошуку внутрішньої точки конуса якісно відрізняються. Я помилявся.

— Анкур

@Tsuyoshi: Це не потрібно тривіально, але мені цікаво дізнатися, чи можна це зробити з перших принципів, не використовуючи всю додаткову потужність повного вирішувача LP, особливо для особливого випадку, в якому ми замовляємо всіх підмножин (у цьому випадку зауважимо, що час полінома є експоненціальним у кількості змінних).

— веселість

Тоді я думаю, що "Чи можна цю проблему ефективно вирішити без використання загальних алгоритмів лінійного програмування?" це хороший спосіб сформулювати своє питання краще.

— Цуйосі Іто

На ваше перше запитання, без загального порядку, відповідь на ваше запитання полягає в тому, що це по суті так само важко, як і лінійне програмування. Ось контур доказу.

Спочатку встановимо змінну , яку ми називаємо . Тепер виберемо іншу змінну , яку ми будемо називати . Ми хочемо переконатися, що Для цього розглянемо нерівності тощо. Маючи досить довгий ланцюг, це скаже нам, що , або , для деяких дуже великих ( - це число Фібоначчі, і так зростає експоненціально в ). $x_1>0$ $\epsilon$ $x_i$ $1$

ϵ ≪ 1 .

$\epsilon \ll 1\, .$

x_{1} < x_{2},

$x_1 < x_2,$

x_{1} + x_{2} < x_{3},

$x_1 + x_2 < x_3,$

x_{2} + x_{3} < x_{4},

$x_2+x_3 < x_4,$

N x_{1} < x_{i}

$Nx_1 < x_i$

ϵ < 1 / N

$\epsilon < 1/N$

N

$N$

N

$N$

i

$i$

Зараз ми можемо виготовити лінійну програму з цілими коефіцієнтами. Якщо ми хочемо , щоб коефіцієнт 3 на , ми додамо нерівності і нехай стенд в протягом 3 . Якщо ви хочете більших коефіцієнтів, ви можете отримати їх, виразивши коефіцієнти у двійковій нотації та зробивши нерівності, що гарантують, що , тощо. Щоб отримати правий бік, ми робимо те ж саме зі змінною $x_t$

x_{t} < x_{t^{'}} < x_{t^{″}} < x_{t} + ϵ

$x_t < x_{t'} < x_{t''} < x_t + \epsilon$

x_{t} + x_{t^{'}} + x_{t^{″}}

$x_t + x_{t'} + x_{t''}$

x_{t}

$x_t$

x_{u} \approx 2 x_{t}

$x_u \approx 2x_t$

x_{v} \approx 2 x_{u}

$x_v \approx 2x_u$

x_{i} = 1

$x_i = 1$ . Ця методика дозволить нам використовувати лінійні програми форми ОП, щоб приблизно перевірити можливість для довільних лінійних програм з цілими коефіцієнтами, завдання, яке по суті є таким же важким, як лінійне програмування.

Я не знаю, як проаналізувати друге питання, запитуючи про випадок, коли існує загальний порядок для всіх підмножин.

— Петро Шор
джерело