Формальне визначення / лічильна частина в математиці для "Об'єктів" об'єктно-орієнтованих моделей

Це питання, яке я задав на форумі з математики SE, і мене тут направили. Отже, ось питання -

Я новачок як в формальній математиці, так і в теоретичній інформатиці, тому, будь ласка, візьміть мене зі собою, якщо ви вважаєте, що моє питання неправильно поставлено. Об'єктно-орієнтоване моделювання здається дуже корисним у визначенні складних взаємодій при моделюванні реального світу. Але в основному використовується в програмуванні. Мені було цікаво, чи є у нас схожа концепція з математики. Коли ми займаємось програмуванням, ми можемо зрозуміти поняття "Об'єкти" та "Об'єктно-орієнтоване програмування" та просто реалізувати його. Але чи є у нас формальне визначення поняття "Об'єкти" з точки зору теорії заданих? Або з цього приводу будь-яка інша формальна математична теорія?

Чи можемо ми реалізувати / формально визначити три концепції моделювання первинного об'єктного орієнтування: 1. Інкапсуляція 2. Спадщина 3. Поліморфізм

Я знаю, що питання занадто широке, але дуже вдячний, якщо ви можете надати деякі покажчики, щоб я міг краще зрозуміти ці поняття.

Відповідь складна з двох причин.

1. Різні люди з інформатики трактують термін «об’єкт» по-різному. Одне полягає в тому, що об’єкт складається з деяких даних і операцій, упакованих разом. Інша полягає в тому, що об’єкт - це все, але також має "стан", тобто це певна форма змінної сутності.

2. Існують глибокі філософські питання, що стосуються того, що означає "зміна" (і що означає "сутність", як вона постійно змінюється), і чи фактично математичні описи фіксують змінні сутності.

Об'єкт у сенсі даних + операції : Це досить стандартно в математиці. Візьміть будь-яку підручник з теорії груп. Десь буде таке визначення, як . (Це оператор кон'югації.) - "об'єкт" у цій термінології. Він має деякі дані ( ) та операцію . Або ви можете зробити його більш об'єктним-y, взявши пару або потрійний$h_g(x) = g x g^{-1}$$h_g$$g$$x \mapsto g x g^{-1}$$\langle g, x \mapsto gxg^{-1}\rangle$$\langle g, x \mapsto gxg^{-1}, x \mapsto g^{-1}xg\rangle$. Ви можете сконструювати подібні "об'єкти" на будь-якій мові програмування, яка має лямбда-абстракцію та певний спосіб формування кортежів. "Теорія об'єктів" Абаді та Карделлі широко займається подібними предметами.

Об'єкти зі станом (або об'єкти, що змінюються ): Чи є в математиці такі речі? Я не думаю, що так. Я не бачив, щоб математик говорив про щось, що змінюється, не в його професійному житті. Ньютон використовував для написання позицію частинки, яка нібито змінюється, і для її швидкості зміни. Зрештою, математики з'ясували, що те, про що говорить Ньютон, - це функція від реальних чисел у векторному просторі, а - ще одна така функція, яка була першою похідною$x$$\dot{x}$$x(t)$$\dot{x}$$x(t)$ з повагою до $t$. Звідси багато математиків глибокого мислення дійшли висновку, що змін насправді не існує, і все, що у вас є, є функціями часу. Але те, що змінювалося в ньютонівській механіці, було не позиція, а частинка . Позиція - це миттєвий стан. Жоден математик чи фізик не претендує на те, що частинка є математичною ідеєю. Це фізична річ.

Так і з предметами. Вони - "фізичні" речі, а держави - їх математичні ознаки. Для приємного обговорення цього аспекту див. Розділ 3 Структура Абельсона та Суссмана та інтерпретація комп'ютерних програм . Це підручник у MIT, і вони навчають його всім вченим та інженерам, які, я думаю, розуміють "фізичні" речі ідеально.

Те, що частинки не є математичними, не означає, що ми не можемо мати справу з ними математично. Якщо ви попросите математика змоделювати систему з двома частинками, він одразу складе дві функції та зателефонує їм$x_1(t)$ і $x_2(t)$. Отже, дві частинки зводяться до двох безглуздих показників (1 і 2). Це математичний спосіб сказати, що ми не знаємо, що це за частинки, і нам все одно. Все, що нам потрібно знати, - це те, що їхні позиції розвиваються незалежно (або окремо). Отже, ми будемо моделювати їх за двома окремими функціями.

Аналогічно стандартним математичним способом моделювання об'єктно-орієнтованих програм є трактування кожного об'єкта як індексу в просторі стану. Єдина відмінність полягає в тому, що оскільки об’єкти приходять і йдуть, а структура системи є динамічною, нам потрібно поширити її на модель "можливого світу", де кожен світ - це сукупність індексів. Виділення та розміщення предметів передбачало б перехід від одного світу до іншого.

Однак є проблема. На відміну від механіки, ми хочемо, щоб стан наших об’єктів був інкапсульований . Але математичні описи об'єктів ставлять стани всюди, повністю руйнуючи інкапсуляцію. Існує математичний трюк під назвою "реляційна параметричність", який можна використовувати для скорочення речей. Я зараз не буду займатися цим, окрім наголосу, що це математичний трюк, а не дуже концептуальне пояснення інкапсуляції. Другий спосіб моделювання об'єктів математично, за допомогою інкапсуляції, полягає в тонкому стані та описі поведінки об'єкта з погляду спостережуваних подій. Для гарного обговорення обох цих моделей я можу віднести вас до моєї статті під назвою « Об’єкти» та класів на мовах, схожих на алголь .

[Примітка додано:]

Приємний аналіз математичної основи об'єктів можна знайти у статті Вільяма Кука " Про розуміння абстракції даних, переглянута ".

Думаю, є досить хороший теоретичний опис об'єктів у старої класичної книги "Структура та інтерпретація комп'ютерних програм" [1], зробленої abelson & sussman, на основі схеми (ліпський варіант). тепер безкоштовно онлайн! це показує, як поняття орієнтації на об'єкт можна вбудовувати навіть в обчислення лямбда (~ aka Lisp), якщо у вас є якийсь механізм для зберігання локального стану. наскільки я розумію, це був STD підручник для багатьох років. не кажучи, що це найкраща відповідь на subj; я впевнений, що є інші кращі у цього птаха

Я не думаю, що це було повністю формалізовано де завгодно, що я чув, але об'єкти, що говорять слабко, в основному складаються з коду + даних у вигляді

• методи (з параметрами)
• стан, тобто змінні екземпляри

в деякій капсульованій формі. Можливо, інші аспекти, такі як спадкування, не є принциповими. як зазначено в abelson & sussman, те, що вони називають "синтаксичним цукром".

[1] структура та інтерпретація комп'ютерних програм abelson & sussman