Варіант невідповідності за участю випадкових графіків

Припустимо, у нас є графік $n$вузли. Ми хотіли б призначити кожному вузлу або a$+1$ або а $−1$. Назвіть це конфігурацією$\sigma \in \{+1,−1\}^n$. Кількість$+1$s, які ми маємо призначити саме так $s$ (звідси кількість $−1$s є $n−s$.) Дано конфігурацію $\sigma$, ми дивимось на кожен вузол $i$ і підсумовуйте значення, присвоєні сусідам, називайте це $\xi_i(\sigma)$. Потім підраховуємо кількість вузлів, для яких$\xi_i(\sigma)$ є негативним:

$$N(\sigma):=\sum_{i=1}^n 1\{\xi_i(\sigma) \ge 0\}.$$ Питання: що таке конфігурація $\sigma$ що максимізує $N(\sigma)$? Що ще важливіше, чи можемо ми надати обмеження?$(\max N)/n$з точки зору . Мені цікаво, чи ця проблема здається комусь знайомою, чи її можна звести до якоїсь відомої проблеми в теорії графів. Якщо це допомагає, графік можна вважати випадковим типу Ердоса-Ренея (скажімо, G (n, p) з вірогідністю ребра , тобто середня ступінь зростає як ). Основна instrest - у випадку, коли .$s/n$$p ~ (\log n)/n$$\log n$$s/n \in (0,1/2)$

Ви можете підійти до цього за допомогою обчислення "методу другого моменту", подібного до того, який я використовував у "Різкому порозі" для задачі щодо задоволення випадковим обмеженням , Дискретна математика 285 / 1-3 (2004), 301-305.

Коли середній ступінь зростає як досить великі постійні часи $\log n$, такого підходу часто було достатньо, щоб точно знайти поріг задоволеності. Можливо, це може також показати частину пунктів, які можуть бути задоволені в незадовільному випадку, хоча я цього не досліджував.

Щоб ваша проблема була схожа на мою загальну, ви можете розглядати її як "MAX-AT-LEAST-HALF-SAT" зі спеціальною графічною структурою, що лежить в основі пунктів формули CNF. Я не думаю, що ця спеціальна структура допоможе в аналізі найгіршого випадку, а оскільки розмір пропозиції не є рівномірним, а ваш "поганий" набір завдань зростає, вам доведеться пройти обчислення і побачити, чи це все ще працює.

Дозвольте детальніше розглянути свій коментар. По-перше, це схоже на невідповідність, але, звичайно, відрізняється кількома способами. Дана система$m$ набори $S_1, \ldots, S_m \subseteq \{1, \ldots n\} = [n]$, невідповідність системи є $\min_{\sigma:[n] \rightarrow \{\pm 1\}}{\max_{j}{|\sum_{i \in S_j}{\sigma(i)}|}}$. Позначимо$\sigma(S_j) = |\sum_{i \in S_j}{\sigma(i)}|$. Ваше визначення відрізняється тим, що ви хочете дізнатися, скільки наборів$\sigma(S_j)$ є позитивним і невідповідність запитує, наскільки це велика $\sigma(S_j)$за величиною в гіршому випадку. Для швидкого вступу, можливо, мої нотатки переписувача можуть допомогти. У Chazelle є приємна книга, яка заглиблюється в багато деталей.

Для легкої ймовірнісної нижньої межі, коли $s > n/2$, як у моєму коментарі, дано графік $G = ([n], E)$ зі ступеневою послідовністю $\delta_1, \ldots, \delta_n$, ви можете вибрати $\sigma$ рівномірно випадково з усіх послідовностей с $s$ $1$'s (the $\sigma_i$не є незалежними, але слід довести, що і Чорнофф пов'язаний у цьому випадку. Ми маємо$E[\xi_i(\sigma)] = \delta_i s/n$ і, пов'язаним Чорноффом, $\Pr[\xi_i(\sigma) < 0] \leq \exp(-C\delta_i (s/n - 1/2)^2)$ для якоїсь постійної $C$. Тому$E[N(\sigma)] \geq n - \sum_i{\exp(-C\delta_i (s/n - 1/2)^2)}$. Отже, є деякі$\sigma$ що досягає цієї межі.

EDIT: Здається, що ви зацікавлені у справі $s < n/2$. Давайте виберемо$\sigma$навмання так само, як у попередньому пункті. Використання версії центральної граничної теореми для вибірки без заміни ($\sigma$ - зразок розміру $s$ без заміни вершин графіка), ви повинні мати можливість це показати $\xi_i(\sigma)$ поводиться як гаусс із середнім $\delta_i (2s/n - 1)$ і дисперсія про $\delta_i$, тому $\Pr[\xi_i(\sigma) \geq 0] =\exp(-C\delta_i(2s/n - 1)^2) \pm \eta(n)$ для деяких С і $\eta(n)$параметр помилки з центральної граничної теореми. Ми повинні були$n\eta(n) = o(n)$, тож можна взяти $N(\sigma) \geq \sum_{i}{\exp(-C\delta_i(2s/n - 1)^2)} - o(n)$.

Відмова від відповідальності: це має сенс лише якщо $\delta_i$ є постійними / малими або $s/n$ дуже близький до $n/2$. Також розрахунки дещо евристичні і не дуже ретельно зроблені.