Чи містить P незрозумілі мови? (Вікі спільноти TCS)

Відповідь: невідомо

Велике спасибі всім, хто допоміг уточнити це питання та визначення, пов'язані з ним.

Визначення цієї вікі послужили відправною точкою для більш пізньої вікі TCS " Чи P містить мови, існування яких не залежить від PA чи ZFC? (Вікі спільноти TCS) ".

Більш свіжий вікі є кращим, оскільки його визначення та номенклатура істотно складніші, ніж викладені у цій вікі.

Зокрема, номенклатура цієї старшої віка- незрозуміле   прийнятних мови і TMs витісняються в новій вікі по загадковому ⇔ гностичних . Окрім визначених деталей, які, однак, є важливими, два вікі вирішують подібний клас питань.$\Leftrightarrow$  $\Leftrightarrow$

Подальші відповіді вітаються

Подальші відповіді вітаються (не потрібно говорити), і цілком ймовірно, що подальша визначена настройка буде доречною. Одним із головних уроків було те, що цей клас запитань складно сформулювати, а ще складніше відповісти жорстко.

В якості відповіді відповідь Сашо Ніколова була оцінена як "прийнята", оскільки вона містила формулювання, яке охоплювало наміри питання: відповідь на питання (мабуть) не відома.

Цінна відповідь Філіпа Уайта мотивувала градуйоване визначення ТМ, яке є незрозумілим, або сильно незрозумілим, проти канонічно незрозумілим (за списком "градуйованих визначень незрозумілості" нижче).

Наступне висловлення цього питання тимчасово містить цінні уявлення та пропозиції, надані Цуйосі Іто, Марціо Де Біасі, Геком Беннеттом, Рікі Демер, Пітером Шор, а також цінний пост у веб- журналі Лука Тревісана .

Формальне визначення

Незрозумілі машини Тюрінга визначаються (в межах ZFC) наступним чином:

D1   З огляду на машину Тюрінга M, яка, очевидно, зупиняється для всіх вхідних рядків, M називається незрозумілою, якщо наступне твердження не є ні доказовим, ні спростовим принаймні для одного позитивного напіввизначеного реального числа :$r$

Заява: Час виконання M - щодо довжини вводу ${O}(n^r)$$n$

І навпаки, М називається зрозумілим, якщо він незрозумілий.

Розбір однозначного рішення

Запис у Вікіпедії " Невизначена проблема: приклади нерозбірливих тверджень " стисло переглядає різні почуття терміна "невизначуваний", які є звичними в доказово-теоретичній та теоретичній літературі обчислення. З метою уникнення неоднозначності, визначення та запитання, що задаються, використовують виключно термінологію, "яка не підлягає доказуванню і не може бути спростована".

Подальші посилання в цьому плані - курсові примітки Джеремі Авігада "Недосконалість через проблему зупинки ", ескіз веб-журналу Скотта Ааронсона " Теорема Россера через машини Тюрінга " та публікація у веб-журналі Лука Тревісана Два цікавих питання .

Про існування незрозумілих машин Тюрінга

Те, що існують незрозумілі машини Тюрінга, конкретно випливає із конструкції Еммануела Віоли та загалом із теоретично-складних теорій складності Юріса Хартманіса. Зокрема, конструкція Віоли забезпечує методами курсових записок Джеремі Авігада (наскільки я їх розумію) наступну лему:

$\to$

Поважаючи природність у визначенні незрозумілості

Цілком природно цікавитись, чи правдивий зворотний вплив на імпликацію Віоли.

Міркування щодо природності вимагають, щоб зворотні наслідки були поставлені обережно, оскільки коментар Філіпа Уайта нижче показує, як тривіально звести незрозумілі ТМ до зрозумілих ТМ за допомогою полілімітерів , які є обчислювальними модулями, які (фактично) "накладають" час незрозумілої машини. як звести його до зрозумілої машини.

Зокрема, природно вимагати, щоб ми не « неестетично маскували старі елементи незрозумілості, вводячи нові елементи незрозумілості ». Основний виклик, пов’язаний із заданим питанням, означає "Чи існує природне визначення незрозумілості?" … Що (зважаючи на обговорення тут про ТКС), можливо, ми повинні розглядати як нетривіальне мета-питання, на яке може бути більше, ніж одна природна відповідь.

З огляду на цей керівний принцип природності, градуйовані визначення незрозумілості визначаються наступним чином.

Градуйовані визначення незрозумілості

$r$$r$

D3   Ми говоримо, що мова L незрозуміла, якщо вона приймається (a)  принаймні однією машиною Тюрінга M, яка є ефективною і незрозумілою, і, крім того, (b)  не існує ефективної та зрозумілої ТМ, яка, очевидно, (у ZFC) приймає Л.

D4   Ми говоримо, що незрозумілий ТМ є абсолютно незрозумілим, якщо мова, яку він приймає, незрозуміла.

D5   Ми говоримо, що сильно незрозумілий ТМ є канонічно незрозумілим, якщо він ефективний.

Ці визначення гарантують, що кожна незрозуміла мова приймається щонайменше однією ТМ, яка є канонічно незрозумілою, і більше того - зважаючи на D3 (a) та D3 (b)  - не існує тривіального полілімітерного зведення канонічно незрозумілого ТМ до зрозумілої ТМ що доказово розпізнає ту саму мову.

Три поставлені запитання

Q1   Чи містить клас складності P незрозумілі мови?

Q2   Чи може бути представлена ​​хоча б одна незрозуміла мова конкретно? (якщо так, наведіть конструктивний приклад).

Q3   Чи може бути принаймні конкретно представлений щонайменше один канонічно незрозумілий TM? (якщо так, наведіть конструктивний приклад).

Мотивація

Незрозумілі властивості класу складності P перешкоджають розумінню широкого класу проблем, які (для оригінального пропонувача цього питання ) включають Головоломки Голубооких островів Террі Тао , Діка Ліптона та гру Урна-вибору Кен Регана та їх гібридизацію в контекст Парадокса Ньюкомба через гру « Збалансована перевага» .

Як видно з монографії Юріса Хартманіса " Обгрунтовані обчислення та властивості досяжної складності" (1978):

Результати щодо складності алгоритмів змінюються досить докорінно, якщо врахувати лише властивості обчислень, які можна підтвердити формально.

Боротьба за побудову чітко поставлених визначень та постулатів, які охоплюють прозріння Хартманіса, допомагає нам краще зрозуміти, що клас складності Р має в ньому надзвичайно своєрідні мови, які визнаються надзвичайно своєрідними машинами Тьюрінга, властивості яких ми є (на даний момент ) дуже далеко від розуміння. Вражає, що в абсолютно жорсткому сенсі наразі невідомо, чи зрозумілий клас складності Р.

Велика подяка висловлюється всім, хто написав коментарі та відповіді.

(Я звільняюсь як вже невідповідну частину відповіді, яка щойно пояснила, чому немає невирішених випадків проблеми / відсутність алгоритмів політайму з незмінним обмеженням часу)

$T$$M$$M$$T$

• $M$$M$
• $M$$M'$

Отже, здається, що відповідь на ваше запитання - «ні»: будь-яка мова, яка визначається в політаймі на якійсь машині, вирішується машиною, яка може бути багаторазовою. Але, можливо, ваше питання має бути таким:

• $M$$M'$$M$

Я підозрюю, що відповідь - так, але зараз у мене більше немає часу присвячувати цьому.

Просто розширений коментар, який намагається інтерпретувати питання.

$M$обіцяють зупинити$M$додатне напіввизначене дійсне число$r$питання$Q_{M,r}$

ВАРІАНТ 1

$Q_{M,r}(n)$$M$$n^r$$n$

$2^n$$M$$\Rightarrow$

ВАРІАНТ 2

$Q_{M,r}$$M$$O(n^r)$

$\Rightarrow$

І якщо ви запитаєте: "Гаразд, але чи можемо ми обчислити значення 1 або 0, щоб побудувати алгоритм, який відповідає на питання Варіант 2?", Ми переходимо до цього:

$Q_{r}(M)$$M$$O(n^r)$$M$

Відповідь на ваше запитання №1, безумовно, "ні". Як я вважаю, хтось зазначив у розділі (дуже тривалих) коментарів, ви можете легко додати "полілімітування" до машини. Тобто, навіть якщо ви не знаєте, що таке r, якщо ви здогадаєтесь, що будь-яке ціле число перевищує r (це, безумовно, можливо), ви можете створити накладну машину, яка імітує вашу "незрозумілу" машину Тьюрінга, і змусити її перестати працювати в поліномічний час ... без зміни мови, яку машина Тьюрінга взагалі приймає. Таким чином, ви могли перетворити будь-яку "незрозумілу" поліноміальну машину Тюрінга в "зрозумілий" поліноміальну машину часу Тюрінга, що означає, що в Р не існує мови, яку можна визначити виключно "незрозумілими" машинами Тьюрінга.

Я сподіваюся, що це допомагає. Якщо я повністю не витлумачив ваше запитання і ваш намір, моя відповідь, безумовно, правильна; це зовсім не відкрите питання.